Calcule o limite:
lim (x, y) (0,0) 6 sen(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de uma função de duas variáveis em (0,0): f(x,y)=6,sin(x^2+y^2)x^2+y^2. O conteúdo aqui é limite em várias variáveis, e vamos usar a substituição que leva ao limite clássico limuto0sin uu=1.

Passo 2

Observamos que a expressão depende apenas de r^2=x^2+y^2. Para simplificar, fazemos a mudança de variável u=x^2+y^2. Quando (x,y)to(0,0), temos uto0^+.

Passo 3

Em termos de u, a função fica f(x,y)=6,sin uu. Agora o problema virou um limite de uma variável: limuto0^+6,sin uu.

Passo 4

Usamos o resultado fundamental de cálculo: limuto0sin uu=1. Então limuto0^+6,sin uu=6cdot1=6.

Resposta

6

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