Calcule integral duplaR x cos (x y) d A, onde R=(x, y) mid 0 <= x <= pi, 1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR x cos (x y) , dA, onde a região R é definida por 0 <= x <= pi e 1 <= y <= 2. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais duplas, especialmente integrando funções em regiões retangulares. Vamos precisar usar a propriedade das integrais iteradas, ou seja, integrar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R. Ela é um retângulo no plano xy com x variando de 0 a pi e y variando de 1 a 2. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integralx=0^pi integraly=1^2 x cos(x y) , dy , dx

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a y, mantendo x constante. A integral interna é:
integraly=1^2 x cos(x y) , dy
Aqui, x é tratado como uma constante durante a integração em relação a y.

Passo 4

Para resolver integral x cos(x y) , dy, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar u = x y. Assim:
du = x , dy Rightarrow dy = dux
Substituindo na integral:
integral cos(u) cdot dux = 1x integral cos(u) , du = sin(u)x + C
Voltando para y:
sin(x y)x + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de y de 1 a 2:
[ sin(x cdot 2)x - sin(x cdot 1)x ] = sin(2x) - sin(x)x

Passo 6

Substituímos isso de volta na integral externa em relação a x:
integral0^pi sin(2x) - sin(x)x cdot x , dx = integral0^pi (sin(2x) - sin(x)) , dx
Aqui, o x no numerador e no denominador cancela.

Passo 7

Agora, vamos integrar sin(2x) - sin(x) em relação a x:
integral sin(2x) , dx = -cos(2x)2 + C
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C
Então, a integral fica:
[ -cos(2x)2 + cos(x) ]0^pi

Passo 8

Aplicamos os limites de 0 a pi:
Para x = pi:
-cos(2pi)2 + cos(pi) = -12 + (-1) = -32
Para x = 0:
-cos(0)2 + cos(0) = -12 + 1 = 12
Subtraindo:
-32 - 12 = -2

Resposta

O valor da integral dupla é -2.

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