Calcule
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais duplas, especialmente integrando funções em regiões retangulares. Vamos precisar usar a propriedade das integrais iteradas, ou seja, integrar uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é um retângulo no plano
com
variando de 0 a
e
variando de 1 a 2. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
, mantendo
constante. A integral interna é:
Aqui,
é tratado como uma constante durante a integração em relação a
.
Passo 4
Para resolver
, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar
. Assim:
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de
de 1 a 2:
Passo 6
Substituímos isso de volta na integral externa em relação a
:
Aqui, o
no numerador e no denominador cancela.
Passo 7
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Aplicamos os limites de
a
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral dupla é
.