Calcule o limite.
lim (x, y) (0,0) e^-1 /(x^2+y^2)

Passo 1

A questão pede para calcular lim(x,y)to(0,0) e^-1/(x^2+y^2). O conteúdo principal é limite de funções de duas variáveis e entendermos o comportamento da função exponencial quando seu expoente tende a -infty.

Passo 2

Para lidar com x^2+y^2 de forma mais conveniente, usamos coordenadas polares: definimos r=raizx^2+y^2. Assim, conforme (x,y)to(0,0), temos rto0^+. A expressão fica
[ e^-1/(x^2+y^2) = e^-1/r^2 ]

Passo 3

Agora observamos o comportamento de e^-1/r^2 quando rto0^+. Como 1/r^2to+infty, o expoente -1/r^2to-infty. E sabemos que
[ se tto-infty, e^tto0 ]

Passo 4

Logo, pelo comportamento da exponencial para expoentes que vão a -infty, conclui-se que e^-1/r^2to0 quando rto0^+. Portanto o limite original também é 0.

Resposta

0

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