Calcule ointC y d x-x d y, onde C é a circunferência de centro na origem e raio 2 pelos dois métodos:
Utilizando o Teorema de Green

Passo 1

Estamos para calcular ointC y,dx - x,dy, onde C é a circunferência de centro na origem e raio 2. O conteúdo envolve integrais de linha de campos vetoriais e o Teorema de Green. Vamos precisar parametrizar C e também usar a relação de Green que liga integral de linha em curva fechada a integral dupla em um domínio.

Passo 2

Parametrizamos C por r(t)=(x(t),y(t))=(2cos t,,2sin t), com t variando de 0 a 2pi. Calculamos
dx = -2sin t,dt, dy = 2cos t,dt

Passo 3

Substituindo em y,dx - x,dy:
y,dx - x,dy = 2sin tcdot(-2sin t,dt) - 2cos tcdot(2cos t,dt) = -4(sin^2 t + cos^2 t),dt = -4,dt

Passo 4

Logo a integral paramétrica é
integral0^2pi -4,dt = -8pi

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema de Green, identificando P(x,y)=y e Q(x,y)=-x. O teorema afirma
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) dA

Passo 6

Aqui temos
partial Qpartial x = -1, partial Ppartial y = 1, logo partial Qpartial x - partial Ppartial y = -2

Passo 7

Como D é o disco de raio 2, sua área é 4pi. Assim
integral duplaD (-2),dA = -2 cdot 4pi = -8pi

Resposta

-8\pi

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