Dado o campo vetorial F(x, y)=(x^2, y^2) e uma curva C dada pelo arco de parábola y=2 x^2 para x entre 2 e 3 .
Ainda caso o campo seja conservativo, calcule integralc F(x, y) d r usando o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y)=(x^2, y^2) e a curva C é o arco da parábola y=2x^2 para x variando de 2 a 3. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo conservativo e o que vamos precisar é usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: se F=nabla varphi, então integralC Fcdot dr=varphi(B)-varphi(A).

Passo 2

Primeiro checamos se F é conservativo. Escrevendo P(x,y)=x^2 e Q(x,y)=y^2, temos
partial Ppartial y=0, partial Qpartial x=0
Como partial P/partial y=partial Q/partial x e o domínio é simplesmente conexo, F é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a função potencial varphi(x,y) resolvemos
partial varphipartial x=x^2 Rightarrow varphi(x,y)=integral x^2,dx=x^33+h(y)
Depois usamos
partial varphipartial y=h'(y)=y^2 Rightarrow h(y)=integral y^2,dy=y^33+C
Logo
varphi(x,y)=x^33+y^33+C

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental: os pontos inicial e final de C são
A=(2,,2cdot2^2)=(2,8), B=(3,,2cdot3^2)=(3,18)
Então
integralC Fcdot dr=varphi(B)-varphi(A) =l(tfrac3^33+tfrac18^33r)-l(tfrac2^33+tfrac8^33r) =53393

Resposta

53393

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