Calcule o limite:
lim (x, y) (0,0) x^4 sen(5x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0):
Queremos calcular
lim(x,y)to(0,0) x^4,singl(5x^2+y^2gr)
Este é um limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para resolver, explorando o fato de que o seno é limitado.

Passo 2

Como sabemos da teoria, para qualquer argumento θ vale
-1 <= sin(θ) <= 1
Logo, aplicando a isso para θ=5/(x2+y2), obtemos
-1 <= sinl(tfrac5x^2+y^2r) <= 1
e multiplicando toda a desigualdade por x^4 ≥ 0 (próximo de (0,0) x^4 é não negativo), vem
- x^4 <= x^4,sinl(tfrac5x^2+y^2r) <= x^4

Passo 3

Agora, quando (x,y)→(0,0), temos x^4→0. Portanto os limites das funções de limite inferior e superior são ambos 0. Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária também tende a esse mesmo valor. Assim concluímos que o limite pedido é 0.

Resposta

0

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