Calcule o limite:
Passo 1
O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0):
Queremos calcular
Este é um limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para resolver, explorando o fato de que o seno é limitado.
Passo 2
Como sabemos da teoria, para qualquer argumento θ vale
Logo, aplicando a isso para θ=5/(x2+y2), obtemos
e multiplicando toda a desigualdade por x^4 ≥ 0 (próximo de (0,0) x^4 é não negativo), vem
Passo 3
Agora, quando (x,y)→(0,0), temos x^4→0. Portanto os limites das funções de limite inferior e superior são ambos 0. Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária também tende a esse mesmo valor. Assim concluímos que o limite pedido é 0.
Resposta
0