Calcule o limite:
lim (x, y) (2,0) x y-2 yx^2-4 x+4+y^2

Passo 1

Temos a função f(x,y)= xy-2yx^2-4x+4+y^2 e queremos calcular lim(x,y)to(2,0)f(x,y).
Esse é um problema de limite de função de duas variáveis e vamos precisar verificar indeterminações, fatorar expressões e estudar caminhos de aproximação.

Passo 2

Ao substituir diretamente x=2 e y=0 na expressão original, obtemos numerator= 2cdot0-2cdot0=0 e denominator= 2^2-4cdot2+4+0^2=0, ou seja, uma indeterminação 0/0. Por isso não podemos aplicar continuidade diretamente.

Passo 3

Para simplificar, fatoramos numerador e denominador. Escrevendo
xy-2yx^2-4x+4+y^2=y(x-2)(x-2)^2+y^2
passamos a analisar a forma y(x-2)(x-2)^2+y^2.

Passo 4

Definindo novas variáveis u=x-2 e v=y, a expressão fica
uvu^2+v^2

Passo 5

Em coordenadas polares, colocamos u=rcostheta e v=rsintheta. Assim
uvu^2+v^2=r^2costhetasinthetar^2=costhetasintheta=tfrac12sin(2theta)

Passo 6

Como esse valor depende de theta, ou seja, do caminho de aproximação de (2,0), o limite não é único.
Por exemplo, se y=0 (logo theta=0) a fração vai para 0, mas se y=x-2 ( theta=pi/4) o valor tende a tfrac12. Como esses resultados são diferentes, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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