Use a definição de limite de uma sequência para mostrar:
(8 pts.) lim n infty 1raizn+1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de limite de uma sequência para mostrar que lim n infty 1raizn+1=0. Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente sobre limites de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite de uma sequência e aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite de uma sequência. Dizemos que o limite de uma sequência (an) é L se, para todo número positivo pequeno que a gente escolher (chamado de epsilon), existe um número natural N tal que para todo n maior que N, a diferença entre an e L é menor que epsilon. Em símbolos:
forall epsilon > 0, exists N in N tal que forall n > N, |an - L| < epsilon

Passo 3

No nosso caso, a sequência é an = 1raizn+1 e queremos mostrar que o limite L é 0. Então, queremos provar que para todo epsilon > 0, existe um N tal que para todo n > N, temos:
| 1raizn+1 - 0 | < epsilon
Simplificando isso fica:
1raizn+1 < epsilon

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade 1raizn+1 < epsilon para encontrar N. Primeiro, vamos inverter os dois lados da desigualdade (lembrando que isso inverte a desigualdade):
raizn+1 > 1epsilon
Agora, elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
n + 1 > ( 1epsilon )^2
Então, isolando n:
n > ( 1epsilon )^2 - 1

Passo 5

Com isso, podemos escolher N como sendo o menor número natural maior que ( 1epsilon )^2 - 1. Ou seja:
N = lceil ( 1epsilon )^2 - 1 rceil
Dessa forma, para todo n > N, teremos que 1raizn+1 < epsilon, cumprindo a definição de limite.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite de uma sequência, mostramos que lim n infty 1raizn+1=0.

Exercícios relacionados