Use a definição de limite de uma sequência para mostrar: pts.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de limite de uma sequência para mostrar que . Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente sobre limites de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite de uma sequência e aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite de uma sequência. Dizemos que o limite de uma sequência é se, para todo número positivo pequeno que a gente escolher (chamado de ), existe um número natural tal que para todo maior que , a diferença entre e é menor que . Em símbolos:
Passo 3
No nosso caso, a sequência é e queremos mostrar que o limite é . Então, queremos provar que para todo , existe um tal que para todo , temos:
Simplificando isso fica:
1raizn+1 < epsilon
Passo 4
Agora, vamos resolver a desigualdade 1raizn+1 < epsilon para encontrar N. Primeiro, vamos inverter os dois lados da desigualdade (lembrando que isso inverte a desigualdade):
raizn+1 > 1epsilon
Agora, elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
n + 1 > ( 1epsilon )^2
Então, isolando n:
n > ( 1epsilon )^2 - 1
Passo 5
Com isso, podemos escolher N como sendo o menor número natural maior que ( 1epsilon )^2 - 1. Ou seja:
N = lceil ( 1epsilon )^2 - 1 rceil
Dessa forma, para todo n > N, teremos que 1raizn+1 < epsilon, cumprindo a definição de limite.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite de uma sequência, mostramos que lim n infty 1raizn+1=0.