Calcule o limite
ao longo da curva:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Função dada:
- Pede o limite de
quando ao longo de duas curvas paramétricas: - (a)
. - (b)
.
- (a)
- Ou seja, em cada caso devemos substituir a parametrização na expressão de
, simplificar em função de e calcular o limite quando .
Passo 2
Breve explicação didática sobre o que significa “limite ao longo de uma curva” (não se assuste, é simples). Quando dizemos "limite ao longo da curva parametrizada por
", isso significa que avaliamos a função ao longo dos pontos
e calculamos
Se esse limite existir, ele é o valor para o qual
se aproxima quando nos deslocamos ao longo daquela curva para a origem. Importante: limites ao longo de curvas diferentes podem dar resultados diferentes; se encontrarmos dois caminhos com limites distintos, concluímos que o limite multivariável em
não existe.
Passo 3
Resolver (a): substituir
em
.
- Calcular o numerador:
- Calcular o denominador:
- Colocar tudo junto:
- Fatorar
do denominador para simplificar:
- Agora tomar o limite quando
. Observe que o denominador tende a quando . Há alguns casos a considerar: - Se
, então e o quociente tende a porque o numerador é proporcional a e o denominador tende a uma constante não nula. - Se
, então ao longo da curva e o numerador é para todo , logo a expressão é (para o valor é exatamente zero) e o limite também é .
- Se
- Conclusão para (a): em todos os casos relevantes o limite ao longo da parametrização linear dada é
.
Dica prática para a prova: sempre fatorar a menor potência de
do denominador (aqui
) para ver qual é a ordem do numerador comparada à do denominador; se o numerador for de ordem estritamente maior (ex.:
vs constante) o limite vira 0.
Passo 4
Resolver (b): substituir
em
.
- Numerador:
- Denominador:
- Portanto, para
,
- Esse valor é constante (independe de
), logo
Explicação didática: aqui numerador e denominador são da mesma ordem em
(ambos de ordem
), por isso os fatores
se cancelam e resta uma constante; quando as ordens coincidem, o limite pode ser uma constante não nula.
Passo 5
Interpretação final (útil para a prova): os limites ao longo das duas curvas são diferentes: em (a) obtivemos
e em (b) obtivemos
. Isso mostra explicitamente que o limite multivariável
não existe de forma global (porque caminhos diferentes dão limites distintos). Essa observação é um bom argumento para responder questões sobre existência de limite.
Resposta
a)
b)