Calcule o limite \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x y z}{x^{2}+y^{4}+z^{4}} ao longo da curva:
a) x=a t, \quad y=b t, \quad z=c t
b) x=t^{2}, \quad y=t, \quad z=t

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Função dada:
f(x,y,z)=\frac{xyz}{x^{2}+y^{4}+z^{4}}.
  • Pede o limite de f(x,y,z) quando (x,y,z)\to(0,0,0) ao longo de duas curvas paramétricas:
    • (a) x=a t,\; y=b t,\; z=c t.
    • (b) x=t^{2},\; y=t,\; z=t.
  • Ou seja, em cada caso devemos substituir a parametrização na expressão de f, simplificar em função de t e calcular o limite quando t\to 0.

Passo 2

Breve explicação didática sobre o que significa “limite ao longo de uma curva” (não se assuste, é simples). Quando dizemos "limite ao longo da curva parametrizada por t", isso significa que avaliamos a função ao longo dos pontos (x(t),y(t),z(t)) e calculamos
\lim_{t\to 0} f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr).
Se esse limite existir, ele é o valor para o qual f se aproxima quando nos deslocamos ao longo daquela curva para a origem. Importante: limites ao longo de curvas diferentes podem dar resultados diferentes; se encontrarmos dois caminhos com limites distintos, concluímos que o limite multivariável em (0,0,0) não existe.

Passo 3

Resolver (a): substituir x=a t,\; y=b t,\; z=c t em f.
  • Calcular o numerador:
xyz = (a t)(b t)(c t)=abc\,t^{3}.
  • Calcular o denominador:
x^{2}+y^{4}+z^{4}=(a t)^{2}+(b t)^{4}+(c t)^{4}=a^{2}t^{2}+b^{4}t^{4}+c^{4}t^{4}.
  • Colocar tudo junto:
f\bigl(a t,b t,c t\bigr)=\frac{abc\,t^{3}}{a^{2}t^{2}+b^{4}t^{4}+c^{4}t^{4}}.
  • Fatorar t^{2} do denominador para simplificar:
f\bigl(a t,b t,c t\bigr)=\frac{abc\,t^{3}}{t^{2}\bigl(a^{2}+(b^{4}+c^{4})t^{2}\bigr)}=\frac{abc\,t}{a^{2}+(b^{4}+c^{4})t^{2}}.
  • Agora tomar o limite quando t\to 0. Observe que o denominador tende a a^{2} quando t\to 0. Há alguns casos a considerar:
    • Se a\neq 0, então a^{2}\neq 0 e o quociente tende a \lim_{t\to 0}\frac{abc\,t}{a^{2}+(b^{4}+c^{4})t^{2}}=0,porque o numerador é proporcional a t e o denominador tende a uma constante não nula.
    • Se a=0, então x\equiv 0 ao longo da curva e o numerador é 0 para todo t, logo a expressão é 0 (para t\neq 0 o valor é exatamente zero) e o limite também é 0.
  • Conclusão para (a): em todos os casos relevantes o limite ao longo da parametrização linear dada é 0.
Dica prática para a prova: sempre fatorar a menor potência de t do denominador (aqui t^{2}) para ver qual é a ordem do numerador comparada à do denominador; se o numerador for de ordem estritamente maior (ex.: t vs constante) o limite vira 0.

Passo 4

Resolver (b): substituir x=t^{2},\; y=t,\; z=t em f.
  • Numerador:
xyz=(t^{2})(t)(t)=t^{4}.
  • Denominador:
x^{2}+y^{4}+z^{4}=(t^{2})^{2}+t^{4}+t^{4}=t^{4}+t^{4}+t^{4}=3t^{4}.
  • Portanto, para t\neq 0,
f\bigl(t^{2},t,t\bigr)=\frac{t^{4}}{3t^{4}}=\frac{1}{3}.
  • Esse valor é constante (independe de t), logo
\lim_{t\to 0} f\bigl(t^{2},t,t\bigr)=\frac{1}{3}.
Explicação didática: aqui numerador e denominador são da mesma ordem em t (ambos de ordem t^{4}), por isso os fatores t^{4} se cancelam e resta uma constante; quando as ordens coincidem, o limite pode ser uma constante não nula.

Passo 5

Interpretação final (útil para a prova): os limites ao longo das duas curvas são diferentes: em (a) obtivemos 0 e em (b) obtivemos 1/3. Isso mostra explicitamente que o limite multivariável
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{xyz}{x^{2}+y^{4}+z^{4}}
não existe de forma global (porque caminhos diferentes dão limites distintos). Essa observação é um bom argumento para responder questões sobre existência de limite.

Resposta

a) 0
b) \dfrac{1}{3}

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