Dado que \frac{\partial f}{\partial x}(-5,1)=-3 e \frac{\partial f}{\partial y}(-5,1)=2, determine a derivada direcional de f em P(-5,1) na direção e no sentido do vetor de P a Q(-4,3).

Passo 1

O enunciado dá as derivadas parciais de f no ponto P(-5,1) e pede a derivada direcional de f em P na direção e sentido do vetor que vai de P a Q(-4,3).
Informações fornecidas:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(-5,1) = -3.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}(-5,1) = 2.
  • Ponto P = (-5,1).
  • Ponto Q = (-4,3).
O que é pedido:
  • Calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor que vai de P a Q (isto é, na direção de \overrightarrow{PQ}, mantendo o sentido de P para Q).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo):
  • A derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é definida por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla f(P) é o gradiente de f em P, que é o vetor formado pelas derivadas parciais: \nabla f(P)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(P),\dfrac{\partial f}{\partial y}(P)\right).
  • \mathbf{u} é o vetor unitário que indica a direção desejada (tem comprimento 1).
  • O símbolo \cdot é o produto escalar (dot product) entre vetores em \mathbb{R}^2: se \mathbf{a}=(a_1,a_2) e \mathbf{b}=(b_1,b_2), então \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2.
Comentário didático: usamos o gradiente porque ele reúne as taxas de variação de f nas direções x e y; projetando o gradiente sobre a direção \mathbf{u} (fazendo o produto escalar) obtemos a taxa de variação de f exatamente naquela direção.

Passo 3

Calcular o vetor que vai de P a Q:
\overrightarrow{PQ}=Q-P = (-4-(-5),\;3-1) = (1,2).
Este é o vetor na direção e sentido pedidos, mas ainda não é unitário.

Passo 4

Normalizar \overrightarrow{PQ} para obter o vetor unitário \mathbf{u}:
  • Primeiro o comprimento (norma) de \overrightarrow{PQ}:
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
  • O vetor unitário na direção de \overrightarrow{PQ} é
\mathbf{u}=\frac{\overrightarrow{PQ}}{\|\overrightarrow{PQ}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\right).

Passo 5

Formar o gradiente em P usando as derivadas parciais dadas e calcular a derivada direcional por produto escalar:
  • Gradiente em P:
\nabla f(P)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(-5,1),\;\dfrac{\partial f}{\partial y}(-5,1)\right)=(-3,2).
  • Produto escalar com \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}=(-3,2)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Calcule termo a termo:
(-3)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} + 2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{-3 + 4}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o número \dfrac{1}{\sqrt{5}} é a taxa instantânea de variação de f em P ao seguir exatamente do ponto P na direção de Q. É positivo, então f aumenta levemente quando se vai de P para Q. Mandou bem em pedir isso agora — esse procedimento (gradiente vezes vetor unitário) é padrão em provas e exercícios.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{5}}

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