Dado que \frac{\partial f}{\partial x}(-5,1)=-3 e \frac{\partial f}{\partial y}(-5,1)=2, determine a derivada direcional de f em P(-5,1) na direção e no sentido do vetor de P a Q(-4,3).
Passo 1
O enunciado dá as derivadas parciais de f no ponto P(-5,1) e pede a derivada direcional de f em P na direção e sentido do vetor que vai de P a Q(-4,3).
Informações fornecidas:
\dfrac{\partial f}{\partial x}(-5,1) = -3.
\dfrac{\partial f}{\partial y}(-5,1) = 2.
Ponto P = (-5,1).
Ponto Q = (-4,3).
O que é pedido:
Calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor que vai de P a Q (isto é, na direção de \overrightarrow{PQ}, mantendo o sentido de P para Q).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo):
A derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é definida por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Aqui:
\nabla f(P) é o gradiente de f em P, que é o vetor formado pelas derivadas parciais: \nabla f(P)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(P),\dfrac{\partial f}{\partial y}(P)\right).
\mathbf{u} é o vetor unitário que indica a direção desejada (tem comprimento 1).
O símbolo \cdot é o produto escalar (dot product) entre vetores em \mathbb{R}^2: se \mathbf{a}=(a_1,a_2) e \mathbf{b}=(b_1,b_2), então \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2.
Comentário didático: usamos o gradiente porque ele reúne as taxas de variação de f nas direções x e y; projetando o gradiente sobre a direção \mathbf{u} (fazendo o produto escalar) obtemos a taxa de variação de f exatamente naquela direção.
Interpretação rápida e incentivo: o número \dfrac{1}{\sqrt{5}} é a taxa instantânea de variação de f em P ao seguir exatamente do ponto P na direção de Q. É positivo, então f aumenta levemente quando se vai de P para Q. Mandou bem em pedir isso agora — esse procedimento (gradiente vezes vetor unitário) é padrão em provas e exercícios.