Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para calcular o limite de uma função quando a variável $ z $ se aproxima de $ i $. Estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental em Cálculo, especialmente para entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e álgebra de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função está fazendo. Temos:
Aqui, $ z $ está se aproximando de $ i i = \sqrt{-1} $). Nosso objetivo é descobrir qual valor essa expressão tende quando $ z $ chega bem perto de $ i $.
Passo 3
Vamos tentar substituir $ z $ por $ i $ diretamente na função para ver o que acontece:
No numerador:
(Lembre-se que $ i^{2} = -1 $)
No denominador:
Então, substituindo, teríamos:
Isso nos dá uma divisão por zero, que é indefinida. Então, precisamos encontrar outra maneira de resolver esse limite.
Passo 4
Quando encontramos uma indeterminação como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{constante}{0} $, podemos usar a técnica de simplificação algébrica ou a Regra de L’Hôpital para avaliar o limite.
Vamos tentar simplificar a expressão primeiro. Observando o numerador:
A função completa fica:
Agora, vamos tentar fatorar o numerador para ver se conseguimos cancelar algum termo com o denominador.
Passo 5
Vamos fatorar $ z^{3} + iz^{2} $:
Mas isso não ajuda a cancelar com $ z - i $. Então, vamos tentar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos um limite do tipo $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.