Calcule o limite:
lim z i (z^2)(z+i)z-i

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para calcular o limite de uma função quando a variável $ z $ se aproxima de $ i $. Estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental em Cálculo, especialmente para entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e álgebra de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função está fazendo. Temos:
lim z i z^2(z+i)z-i
Aqui, $ z $ está se aproximando de $ i z éá i = \sqrt{-1} $). Nosso objetivo é descobrir qual valor essa expressão tende quando $ z $ chega bem perto de $ i $.

Passo 3

Vamos tentar substituir $ z $ por $ i $ diretamente na função para ver o que acontece:
  • No numerador:
    z
    (Lembre-se que $ i^{2} = -1 $)
  • No denominador:
    i
Então, substituindo, teríamos:
z^2(z + i) = i^2(i + i) = (-1)(2i) = -2i
Isso nos dá uma divisão por zero, que é indefinida. Então, precisamos encontrar outra maneira de resolver esse limite.

Passo 4

Quando encontramos uma indeterminação como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{constante}{0} $, podemos usar a técnica de simplificação algébrica ou a Regra de L’Hôpital para avaliar o limite.
Vamos tentar simplificar a expressão primeiro. Observando o numerador:
00
A função completa fica:
constante0
Agora, vamos tentar fatorar o numerador para ver se conseguimos cancelar algum termo com o denominador.

Passo 5

Vamos fatorar $ z^{3} + iz^{2} $:
z^3 + iz^2
Mas isso não ajuda a cancelar com $ z - i $. Então, vamos tentar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos um limite do tipo $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 6

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
  • Derivada do numerador $ z^{3} + iz^{2} $:
    z^3 + iz^2
  • Derivada do denominador $ z - i $:
    ddz(z^3 + iz^2) = 3z^2 + 2iz
Então, o limite se transforma em:
z - i

Passo 7

Agora, substituímos $ z $ por $ i $:
z

Resposta

O limite é igual a -5.

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