Determine as partes real a imaginária de cada função:
w=e^-z(barz-2 i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a parte real e a imaginária da função $ w = e^{-z}(\overline{z} - 2i) $. Aqui, estamos trabalhando com números complexos, então vamos precisar usar conceitos de álgebra complexa, como a forma de números complexos e propriedades das funções exponenciais com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo $ z $ na forma padrão: $ z = x + iy $, onde $ x $ é a parte real e $ y $ é a parte imaginária. A conjugada de $ z $, que é $ \overline{z} $, fica então $ \overline{z} = x - iy $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ \overline{z} - 2i $:
z - 2i
Isso simplifica a expressão para termos mais fáceis de trabalhar.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular $ e^{-z} $. Usando a fórmula para o exponencial de um número complexo:
e^-z
E sabendo que $ e^{-iy} = \cos(y) - i\sin(y) $, temos:
e^-z = e^-(x + iy) = e^-x cdot e^-iy

Passo 5

Agora, vamos multiplicar $ e^{-z} $ por $ \overline{z} - 2i $:
e^-z
Vamos distribuir os termos:
z - 2i
Lembrando que $ i^2 = -1 $:
w = e^-x (cos(y) - isin(y)) cdot (x - i(y + 2))

Passo 6

Agora, separamos os termos reais dos imaginários:
  • Parte Real:
e^-x [xcos(y) - (y + 2)sin(y)]
  • Parte Imaginária:
e^-x [-xsin(y) - (y + 2)cos(y)]

Resposta

A parte real de $ w $ é $ e^{-x}(x \cos y - (y + 2) \sin y) $ e a parte imaginária é $ e^{-x}(-x \sin y - (y + 2) \cos y) $.

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