Determine as partes real a imaginária de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a parte real e a imaginária da função $ w = e^{-z}(\overline{z} - 2i) $. Aqui, estamos trabalhando com números complexos, então vamos precisar usar conceitos de álgebra complexa, como a forma de números complexos e propriedades das funções exponenciais com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo $ z $ na forma padrão: $ z = x + iy $, onde $ x $ é a parte real e $ y $ é a parte imaginária. A conjugada de $ z $, que é $ \overline{z} $, fica então $ \overline{z} = x - iy $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \overline{z} - 2i $:
Isso simplifica a expressão para termos mais fáceis de trabalhar.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular $ e^{-z} $. Usando a fórmula para o exponencial de um número complexo:
E sabendo que $ e^{-iy} = \cos(y) - i\sin(y) $, temos:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar $ e^{-z} $ por $ \overline{z} - 2i $:
Vamos distribuir os termos:
Lembrando que $ i^2 = -1 $:
Passo 6
Agora, separamos os termos reais dos imaginários:
- Parte Real:
- Parte Imaginária:
Resposta
A parte real de $ w $ é $ e^{-x}(x \cos y - (y + 2) \sin y) $ e a parte imaginária é $ e^{-x}(-x \sin y - (y + 2) \cos y) $.