Calcule os limites.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ z $ se aproxima de
da função
. Isso envolve o estudo de limites de funções racionais no campo dos números complexos. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar o conceito de fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir $ z = -2i $ diretamente na função para ver o que acontece:
Sabemos que $ i^{3} = -i $, então:
Ops! A gente se depara com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para resolver essa indeterminação, vamos fatorar o numerador. Observamos que $ z = -2i $ torna o numerador zero, então
é um fator do polinômio $ z^{3} - 8i $.
Vamos fatorar $ z^{3} - 8i $:
Aqui, usamos a fatoração de polinômios onde sabemos que
é um fator se $ z = -a $ é raiz do polinômio.
Passo 4
Agora que temos a fatoração, substituímos na expressão original:
Podemos cancelar o fator
no numerador e denominador:
Agora, podemos substituir $ z = -2i $ diretamente nessa expressão simplificada.
Passo 5
Vamos calcular cada termo separadamente:
Somando tudo:
Resposta
O limite é
.