Calcule os limites.
lim z -2 i z^3-8 iz+2 i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ z $ se aproxima de z da função -2i. Isso envolve o estudo de limites de funções racionais no campo dos números complexos. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar o conceito de fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ z = -2i $ diretamente na função para ver o que acontece:
z = -2i
Sabemos que $ i^{3} = -i $, então:
(-2i)^3 - 8i-2i + 2i = -8i^3 - 8i0
Ops! A gente se depara com uma forma indeterminada i^3 = -i , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos fatorar o numerador. Observamos que $ z = -2i $ torna o numerador zero, então z = -2i é um fator do polinômio $ z^{3} - 8i $.
Vamos fatorar $ z^{3} - 8i $:
(z + 2i)
Aqui, usamos a fatoração de polinômios onde sabemos que z^3 - 8i é um fator se $ z = -a $ é raiz do polinômio.

Passo 4

Agora que temos a fatoração, substituímos na expressão original:
z^3 - 8iz + 2i = (z + 2i)(z^2 - 2iz - 4)z + 2i
Podemos cancelar o fator (z + 2i) no numerador e denominador:
z^2 - 2iz - 4
Agora, podemos substituir $ z = -2i $ diretamente nessa expressão simplificada.

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
z^2 = (-2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4
-2iz = -2i(-2i) = 4i^2 = 4(-1) = -4
-4 = -4
Somando tudo:
-4 - 4 - 4 = -12

Resposta

O limite é -12.

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