Determine as partes real a imaginária de cada função:
f(z)=i(z-i 3 barz)z-i

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as partes real e imaginária da função complexa:
f(z) = i(z - i cdot 3 z)z - i
Estamos lidando com funções de números complexos, então vamos precisar usar conceitos de números complexos como a forma $ z = x + iy $ e seu conjugado $ \overline{z} = x - iy $. Vamos precisar substituir essas expressões e simplificar para separar as partes real e imaginária.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar $ z $ e $ \overline{z} $ em termos das variáveis reais $ x $ e $ y $:
z
z
Isso vai nos ajudar a substituir na função $ f(z) $ e facilitar a separação das partes real e imaginária.

Passo 3

Agora, vamos substituir $ z $ e $ \overline{z} $ na função $ f(z) $:
z
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador primeiro:
(x + iy) - i cdot 3(x - iy) = x + iy - i cdot 3x + i cdot 3iy
Lembrando que $ i \cdot i = -1 $, temos:
i cdot i = -1
= x + iy - 3ix - 3y
Agora, multiplicando por $ i $:
= x - 3y + i(y - 3x)
i

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador:
(x + iy) - i = x + iy - i = x + i(y - 1)
Então, a função fica:
f(z) = -y + 3x + i(x - 3y)x + i(y - 1)
Para separar as partes real e imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
(-y + 3x) + i(x - 3y)x + i(y - 1) cdot x - i(y - 1)x - i(y - 1)
Isso ajuda a eliminar a parte imaginária no denominador.

Passo 6

Vamos multiplicar os numeradores:
[(-y + 3x) + i(x - 3y)][x - i(y - 1)]
Usando a propriedade distributiva:
(-y + 3x)x - (-y + 3x)i(y - 1) + i(x - 3y)x - i(x - 3y)i(y - 1)
Simplificando:
-xy + 3x^2 + iy(y - 1) - 3ix(y - 1) + i x(x - 3y) + (x - 3y)(y - 1)
= -xy + 3x^2 + i(y^2 - y) - 3i x y + i x^2 - 3i x y + x y - 3y^2 - x + 3y
E o denominador:
x^2 + (y - 1)^2
Simplificando todo e agrupando as partes real e imaginária.

Resposta

Após simplificar, as partes real e imaginária da função $ f(z) $ são:
f(z)
Parte Real = 3x^2 - y^2 + x + 3yx^2 + (y - 1)^2 á

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