Determine as partes real a imaginária de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as partes real e imaginária da função complexa:
Estamos lidando com funções de números complexos, então vamos precisar usar conceitos de números complexos como a forma $ z = x + iy $ e seu conjugado $ \overline{z} = x - iy $. Vamos precisar substituir essas expressões e simplificar para separar as partes real e imaginária.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar $ z $ e $ \overline{z} $ em termos das variáveis reais $ x $ e $ y $:
Isso vai nos ajudar a substituir na função $ f(z) $ e facilitar a separação das partes real e imaginária.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ z $ e $ \overline{z} $ na função $ f(z) $:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 4
Vamos simplificar o numerador primeiro:
Lembrando que $ i \cdot i = -1 $, temos:
Agora, multiplicando por $ i $:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o denominador:
Então, a função fica:
Para separar as partes real e imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Isso ajuda a eliminar a parte imaginária no denominador.
Passo 6
Vamos multiplicar os numeradores:
Usando a propriedade distributiva:
Simplificando:
E o denominador:
Simplificando todo e agrupando as partes real e imaginária.
Resposta
Após simplificar, as partes real e imaginária da função $ f(z) $ são: