Calcule o limite
\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{3 i z+1}{2 z-5 i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{z \rightarrow \infty} \frac{3 i z+1}{2 z-5 i}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • \,i, é a unidade imaginária ( i^2=-1).
  • z é uma variável complexa que tende ao infinito no plano complexo, isto é, |z|\to\infty.
  • Queremos encontrar o valor complexo (se existir) para o qual a expressão \dfrac{3 i z+1}{2 z-5 i} se aproxima quando |z|\to\infty.

Passo 2

Estratégia elementar (muito usada em limites de frações racionais): dividir numerador e denominador por z para expor os termos que ficam pequenos quando |z|\to\infty. Fazendo isso obtemos
\frac{3 i z+1}{2 z-5 i}=\frac{3 i+\dfrac{1}{z}}{2-\dfrac{5 i}{z}}.

Passo 3

Agora vamos analisar os termos com \dfrac{1}{z}. Precisamos saber o que acontece com \dfrac{1}{z} quando z\to\infty. Usamos a norma complexa para justificar:
\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}\xrightarrow{|z|\to\infty}0.
Portanto \dfrac{1}{z}\to 0 quando z\to\infty. Como \dfrac{5i}{z}=5i\cdot\dfrac{1}{z}, segue que \dfrac{5i}{z}\to 0 também.

Passo 4

Com isso, ao passar ao limite na expressão da Passo 2, os termos com \dfrac{1}{z} desaparecem (tendem a zero). Logo o numerador tende a \,3i e o denominador tende a \,2. Assim o limite da fração é o quociente desses limites.

Passo 5

Resumo do raciocínio por substituição alternativa (útil para a prova): faça w=\dfrac{1}{z}. Então z\to\infty equivale a w\to 0 e
\frac{3 i z+1}{2 z-5 i}=\frac{3 i+\,w}{2-5 i\,w}\xrightarrow{w\to 0}\frac{3 i}{2}.
(Isto confirma o resultado obtido antes, vendo o limite como avaliação em w=0.)

Resposta

\dfrac{3i}{2}

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