Calcule
(1+\sqrt{3} i)^{6} .

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o valor de \,(1+\sqrt{3}\,i)^{6}\,.
Informações dadas: o número complexo dentro do parêntese é \,1+\sqrt{3}\,i\, e ele deve ser elevado à potência 6.
Logo a pergunta é: qual o número complexo resultante de \,(1+\sqrt{3}\,i)^{6}\,?

Passo 2

Escolha do método: há duas formas naturais de fazer isso — expandir pelo binômio de Newton (muito trabalho) ou escrever o número complexo em forma polar/exponencial e usar a fórmula de De Moivre (muito mais curto). Vou usar a forma polar + De Moivre porque transforma a potência em multiplicação de ângulos e potências de módulo, o que é simples para potências inteiras como 6.

Passo 3

Primeiro passo técnico: calcular o módulo r do complexo \,1+\sqrt{3}\,i\,. O módulo é a distância até a origem no plano complexo e é dado por
r=\sqrt{(\text{parte real})^{2}+(\text{parte imaginária})^{2}}.á
Aqui a parte real é 1 e a parte imaginária é \sqrt{3}. Então
r=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.

Passo 4

Agora achar o argumento \theta (o ângulo que o vetor forma com o eixo real positivo). O argumento satisfaz \tan\theta=\dfrac{\text{parte imaginária}}{\text{parte real}}á. Assim
\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.
O ângulo cujo tangente é \sqrt{3} e que está no primeiro quadrante (porque real e imaginária são positivas) é \theta=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 5

Escrevo o complexo em forma polar/exponencial. A forma polar (ou forma trigonométrica) é
1+\sqrt{3}\,i = r(\cos\theta + i\sin\theta).
Substituindo r=2 e \theta=\dfrac{\pi}{3} obtenho
1+\sqrt{3}\,i = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right).

Passo 6

Aplicar a fórmula de De Moivre: para qualquer real r, ângulo \theta e inteiro n,
\bigl(r(\cos\theta + i\sin\theta)\bigr)^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
Aqui r=2, \theta=\dfrac{\pi}{3} e n=6. Então
(1+\sqrt{3}\,i)^{6} = 2^{6}\left(\cos\!\left(6\cdot\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\!\left(6\cdot\frac{\pi}{3}\right)\right).

Passo 7

Calculo os termos: 2^{6}=64 e 6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi. Sabemos os valores trigonométricos em 2\pi:
\cos(2\pi)=1,\qquad \sin(2\pi)=0.
Substituindo,
(1+\sqrt{3}\,i)^{6} = 64\bigl(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)\bigr)=64(1+ i\cdot 0)=64.

Passo 8

Breve verificação mental: o resultado é um número real positivo (faz sentido porque elevar ao sexto potência um complexo com argumento \pi/3 multiplica o argumento por 6, dando 2\pi, que é direção do eixo real positivo). O módulo ficou 2^{6}=64. Tudo consistente.

Resposta

64

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