Calcule
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o valor de
.
Informações dadas: o número complexo dentro do parêntese é e ele deve ser elevado à potência
.
Logo a pergunta é: qual o número complexo resultante de ?
Informações dadas: o número complexo dentro do parêntese é
Logo a pergunta é: qual o número complexo resultante de
Passo 2
Escolha do método: há duas formas naturais de fazer isso — expandir pelo binômio de Newton (muito trabalho) ou escrever o número complexo em forma polar/exponencial e usar a fórmula de De Moivre (muito mais curto). Vou usar a forma polar + De Moivre porque transforma a potência em multiplicação de ângulos e potências de módulo, o que é simples para potências inteiras como
.
Passo 3
Primeiro passo técnico: calcular o módulo
do complexo
. O módulo é a distância até a origem no plano complexo e é dado por
Aqui a parte real é
e a parte imaginária é
. Então
Passo 4
Agora achar o argumento
(o ângulo que o vetor forma com o eixo real positivo). O argumento satisfaz
. Assim
O ângulo cujo tangente é
e que está no primeiro quadrante (porque real e imaginária são positivas) é
.
Passo 5
Escrevo o complexo em forma polar/exponencial. A forma polar (ou forma trigonométrica) é
Substituindo
e
obtenho
Passo 6
Aplicar a fórmula de De Moivre: para qualquer real
, ângulo
e inteiro
,
Aqui
,
e
. Então
Passo 7
Calculo os termos:
e
. Sabemos os valores trigonométricos em
:
Substituindo,
Passo 8
Breve verificação mental: o resultado é um número real positivo (faz sentido porque elevar ao sexto potência um complexo com argumento
multiplica o argumento por
, dando
, que é direção do eixo real positivo). O módulo ficou
. Tudo consistente.