Sejam
. Mostre que, se
e
, então
Passo 1
O enunciado dá dois números complexos
e
e afirma que
e
. A pergunta é: mostrar que
Informações relevantes fornecidas:
Não há outras hipóteses; devemos usar isso para justificar a igualdade dos argumentos.
Passo 2
Vamos introduzir uma representação útil para números complexos: qualquer
pode ser escrita em forma polar
onde
é o módulo de
e
é um argumento de
. Aqui vamos tomar
, ou seja, o argumento principal de
. Explico cada símbolo:
-
é a distância do ponto à origem no plano complexo. -
é o ângulo que o vetor que vai da origem até faz com o eixo real positivo; é um número real tal que e .
Essa forma é muito prática porque produtos multiplicam módulos e somam argumentos (essa é a ideia que vamos formalizar).
Passo 3
Usando a forma polar para
e
, escrevemos
onde
,
e definimos
,
. Vou justificar uma consequência imediata das hipóteses: como
temos
portanto
. Analogamente
. Ou seja, ambos os argumentos estão estritamente entre
e
.
Passo 4
Multiplicamos
por
. Usando as expressões acima,
Aqui usei a distributiva e as regras de multiplicação dos números complexos (lembre:
). Agora reconhecemos as identidades trigonométricas de soma de ângulos:
Substituindo, obtemos
Passo 5
Do passo anterior vemos que
tem módulo
e um argumento (algum argumento) igual a
. Agora precisamos checar que esse
é, de fato, o argumento principal de
, ou seja, que não precisamos acrescentar ou subtrair
para colocá-lo no intervalo escolhido para
. Como vimos no Passo 3,
e
pertencem a
. Portanto
Note que as extremidades
não ocorrem porque
garante
estritamente. Logo a soma está estritamente entre
e
. Como o argumento principal
toma valores no intervalo
(ou em outra convenção que contenha
), e nossa soma está dentro desse intervalo sem ultrapassá‑lo, concluímos que o argumento principal de
é exatamente
.
Passo 6
Juntando tudo: definimos
e
. A multiplicação mostrou que
tem argumento
, e a verificação do intervalo assegura que esse valor é o argumento principal. Portanto
Um exemplo concreto para fixar:
tem
,
tem
. Produto
tem
, e
, conferindo a fórmula.