Sejam z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}. Mostre que, se \operatorname{Re}\left(z_{1}\right)>0 e \operatorname{Re}\left(z_{2}\right)>0, então
\operatorname{Arg}\left(z_{1} z_{2}\right)=\operatorname{Arg}\left(z_{1}\right)+\operatorname{Arg}\left(z_{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos z_{1} e z_{2} e afirma que \operatorname{Re}\left(z_{1}\right)>0 e \operatorname{Re}\left(z_{2}\right)>0. A pergunta é: mostrar que
\operatorname{Arg}\left(z_{1} z_{2}\right)=\operatorname{Arg}\left(z_{1}\right)+\operatorname{Arg}\left(z_{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
\operatorname{Re}\left(z_{1}\right)>0,\qquad \operatorname{Re}\left(z_{2}\right)>0.
Não há outras hipóteses; devemos usar isso para justificar a igualdade dos argumentos.

Passo 2

Vamos introduzir uma representação útil para números complexos: qualquer z\in\mathbb{C}\setminus\{0\} pode ser escrita em forma polar
z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big),
onde r=|z|>0 é o módulo de z e \theta é um argumento de z. Aqui vamos tomar \theta=\operatorname{Arg}(z), ou seja, o argumento principal de z. Explico cada símbolo:
  • r=|z| é a distância do ponto z à origem no plano complexo.
  • \theta=\operatorname{Arg}(z) é o ângulo que o vetor que vai da origem até z faz com o eixo real positivo; é um número real tal que \cos\theta=\dfrac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} e \sin\theta=\dfrac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}.
    Essa forma é muito prática porque produtos multiplicam módulos e somam argumentos (essa é a ideia que vamos formalizar).

Passo 3

Usando a forma polar para z_{1} e z_{2}, escrevemos
z_{1}=r_{1}\big(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}\big),\qquad z_{2}=r_{2}\big(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}\big),
onde r_{1}=|z_{1}|>0, r_{2}=|z_{2}|>0 e definimos \theta_{1}=\operatorname{Arg}(z_{1}), \theta_{2}=\operatorname{Arg}(z_{2}). Vou justificar uma consequência imediata das hipóteses: como \operatorname{Re}(z_{1})>0 temos
\cos\theta_{1}=\frac{\operatorname{Re}(z_{1})}{|z_{1}|}>0,
portanto \theta_{1}\in\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Analogamente \theta_{2}\in\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Ou seja, ambos os argumentos estão estritamente entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Multiplicamos z_{1} por z_{2}. Usando as expressões acima,
\begin{aligned} z_{1}z_{2} &= r_{1}r_{2}\big(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}\big)\big(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}\big)\\[4pt] &= r_{1}r_{2}\Big(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\;+\;i\big(\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}+\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}\big)\Big). \end{aligned}
Aqui usei a distributiva e as regras de multiplicação dos números complexos (lembre: i^2=-1). Agora reconhecemos as identidades trigonométricas de soma de ângulos:
\cos(\theta_{1}+\theta_{2})=\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2},
\sin(\theta_{1}+\theta_{2})=\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}+\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}.
Substituindo, obtemos
z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\big).]

Passo 5

Do passo anterior vemos que z_{1}z_{2} tem módulo r_{1}r_{2} e um argumento (algum argumento) igual a \theta_{1}+\theta_{2}. Agora precisamos checar que esse \theta_{1}+\theta_{2} é, de fato, o argumento principal de z_{1}z_{2}, ou seja, que não precisamos acrescentar ou subtrair 2\pi para colocá-lo no intervalo escolhido para \operatorname{Arg}. Como vimos no Passo 3, \theta_{1} e \theta_{2} pertencem a \big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Portanto
\theta_{1}+\theta_{2}\in\big(-\pi,\pi\big).
Note que as extremidades \pm\tfrac{\pi}{2} não ocorrem porque \operatorname{Re}(z_{j})>0 garante \cos\theta_{j}>0 estritamente. Logo a soma está estritamente entre -\pi e \pi. Como o argumento principal \operatorname{Arg}(\cdot) toma valores no intervalo (-\pi,\pi] (ou em outra convenção que contenha (-\pi,\pi)), e nossa soma está dentro desse intervalo sem ultrapassá‑lo, concluímos que o argumento principal de z_{1}z_{2} é exatamente \theta_{1}+\theta_{2}.

Passo 6

Juntando tudo: definimos \theta_{1}=\operatorname{Arg}(z_{1}) e \theta_{2}=\operatorname{Arg}(z_{2}). A multiplicação mostrou que z_{1}z_{2} tem argumento \theta_{1}+\theta_{2}, e a verificação do intervalo assegura que esse valor é o argumento principal. Portanto
\operatorname{Arg}\big(z_{1}z_{2}\big)=\theta_{1}+\theta_{2}=\operatorname{Arg}(z_{1})+\operatorname{Arg}(z_{2}).
Um exemplo concreto para fixar: z_{1}=1+i tem \operatorname{Arg}(z_{1})=\tfrac{\pi}{4}, z_{2}=1-i tem \operatorname{Arg}(z_{2})=-\tfrac{\pi}{4}. Produto z_{1}z_{2}=2 tem \operatorname{Arg}=0, e \tfrac{\pi}{4}+(-\tfrac{\pi}{4})=0, conferindo a fórmula.

Resposta

\operatorname{Arg}\left(z_{1} z_{2}\right)=\operatorname{Arg}\left(z_{1}\right)+\operatorname{Arg}\left(z_{2}\right)

Exercícios relacionados