Calcule o limite ou mostre que não existe:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Aqui, estamos lidando com limites em duas variáveis e vamos precisar usar conceitos de coordenadas polares e propriedades dos logaritmos para resolver.
Passo 2
Para facilitar, vamos mudar de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde
é a distância do ponto
até a origem, e
é o ângulo. Quando
se aproxima de
, isso corresponde a
se aproximando de
.
Passo 3
Substituindo na função, temos:
E o logaritmo fica:
Então, a função original em coordenadas polares fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Vamos focar na parte
.
Sabemos que
tende a
quando
, mas
tende a
. Temos, portanto, uma forma indeterminada
. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, a gente tem
, que é uma forma indeterminada. Podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é usada para resolver limites de formas como
ou
.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Então, o limite fica:
Como
tende a
quando
, o limite todo é:
Resposta
O limite é igual a
.