Calcule o limite ou mostre que não existe:
lim (x, y) (0,0)(raiz[3]x^2+y^2 ln (raiz[3]x^2+y^2))

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função raiz[3]x^2+y^2 ln (raiz[3]x^2+y^2) quando (x, y) se aproxima de (0,0). Aqui, estamos lidando com limites em duas variáveis e vamos precisar usar conceitos de coordenadas polares e propriedades dos logaritmos para resolver.

Passo 2

Para facilitar, vamos mudar de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta), onde r = raizx^2 + y^2 é a distância do ponto (x, y) até a origem, e theta é o ângulo. Quando (x, y) se aproxima de (0,0), isso corresponde a r se aproximando de 0.

Passo 3

Substituindo na função, temos:
raiz[3]x^2+y^2 = raiz[3]r^2 = r^2/3
E o logaritmo fica:
ln(raiz[3]x^2+y^2) = ln(r^2/3) = 23 ln(r)
Então, a função original em coordenadas polares fica:
f(r, theta) = r^2/3 cdot 23 ln(r) = 23 r^2/3 ln(r)

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de f(r, theta) = 23 r^2/3 ln(r) quando r se aproxima de 0. Vamos focar na parte r^2/3 ln(r).
Sabemos que ln(r) tende a -infty quando r to 0^+, mas r^2/3 tende a 0. Temos, portanto, uma forma indeterminada 0 cdot (-infty). Para resolver isso, vamos reescrever a expressão como uma fração:
r^2/3 ln(r) = ln(r)r^-2/3
Agora, a gente tem -infty+infty, que é uma forma indeterminada. Podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é usada para resolver limites de formas como 00 ou inftyinfty.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital:
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador em relação a r:
ddr [ln(r)] = 1r
ddr [r^-2/3] = -23 r^-5/3
Então, o limite fica:
limr to 0^+ 1r-23 r^-5/3 = limr to 0^+ 1r cdot (-32 r^5/3) = limr to 0^+ -32 r^2/3
Como r^2/3 tende a 0 quando r to 0, o limite todo é:
-32 cdot 0 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados