Encontre a solução do problema de condução de calor não homogênea
l ut=4 ux x, 00 u(0, t)=6, u(1, t)=8, t>0 u(x, 0)=2 x, 0
Qual é a solução estacionária?

Passo 1

Estamos encarando um problema de condução de calor não homogênea e precisamos encontrar a solução estacionária. Isso significa que queremos saber como a temperatura distribui-se no tempo quando ela já não muda mais. Para resolver, vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais, especialmente a equação de condução de calor, além das condições de contorno fornecidas.

Passo 2

Primeiro, como estamos procurando a solução estacionária, isso quer dizer que a temperatura não depende do tempo. Então, a derivada da temperatura em relação ao tempo $ u_t $ é igual a zero. A equação original é:
ut
Como $ u_t = 0 $, a equação se simplifica para:
ut = 4 uxx

Passo 3

Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 4:
uxx = 0
Agora, temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolver $ u_{xx} = 0 $, precisamos integrar duas vezes em relação a $ x $.
Primeira integração:
uxx = 0
Aqui, $ C $ é uma constante de integração.
Segunda integração:
x
Onde $ D $ é outra constante de integração. Então, a solução geral da equação é:
ux = C
onde $ A = C $ e $ B = D $.

Passo 4

Agora, vamos usar as condições de contorno para encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Primeiro, aplicamos $ u(0, t) = 6 $:
A
Então, $ B = 6 $.
Segundo, aplicamos $ u(1, t) = 8 $:
B
Resolvendo para $ A $:
u(0, t) = 6

Resposta

A solução estacionária é $ u_s(x) = 2x + 6 $.

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