Encontre a solução do problema de condução de calor não homogênea
Qual é a solução estacionária?
Passo 1
Estamos encarando um problema de condução de calor não homogênea e precisamos encontrar a solução estacionária. Isso significa que queremos saber como a temperatura distribui-se no tempo quando ela já não muda mais. Para resolver, vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais, especialmente a equação de condução de calor, além das condições de contorno fornecidas.
Passo 2
Primeiro, como estamos procurando a solução estacionária, isso quer dizer que a temperatura não depende do tempo. Então, a derivada da temperatura em relação ao tempo $ u_t $ é igual a zero. A equação original é:
Como $ u_t = 0 $, a equação se simplifica para:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 4:
Agora, temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolver $ u_{xx} = 0 $, precisamos integrar duas vezes em relação a $ x $.
Primeira integração:
Aqui, $ C $ é uma constante de integração.
Segunda integração:
Onde $ D $ é outra constante de integração. Então, a solução geral da equação é:
onde $ A = C $ e $ B = D $.
Passo 4
Agora, vamos usar as condições de contorno para encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Primeiro, aplicamos $ u(0, t) = 6 $:
Então, $ B = 6 $.
Segundo, aplicamos $ u(1, t) = 8 $:
Resolvendo para $ A $:
Resposta
A solução estacionária é $ u_s(x) = 2x + 6 $.