Calcule o limite ou mostre que não existe:
lim x 1 2-x(x-1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{x\to1} \frac{2 - x}{(x - 1)^2}. O conteúdo aqui é análise de limites envolvendo indeterminação do tipo \frac{número\ finito}{0} e comportamento de funções racionais próximas ao ponto problemático.

Passo 2

Para lidar com a indeterminação, fazemos a mudança de variável h = x - 1. Quando x to 1, temos h to 0, e a expressão vira
2 - x(x - 1)^2 = 2 - (1 + h)h^2 = 1 - hh^2 = 1h^2 - 1h

Passo 3

Precisamos agora verificar o comportamento de 1h^2 - 1h quando h to 0 tanto pela direita ( h > 0) quanto pela esquerda ( h < 0).

Passo 4

Para h to 0^+ temos 1/h^2 to +infty e 1/h to +infty, mas 1/h^2 cresce muito mais rápido que 1/h, de modo que
1h^2 - 1h = +infty - (+infty) sim +infty

Passo 5

Para h to 0^- temos 1/h^2 to +infty e 1/h to -infty, logo
1h^2 - 1h = +infty - (-infty) = +infty

Passo 6

Como em ambos os lados a expressão cresce sem limite, concluímos que o limite diverge para +\infty.

Resposta

+infty

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