Determine
e
para cada uma das seguintes funções:
Passo 1
A questão pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem de
. O conteúdo é diferenciação parcial: primeiro precisamos usar a definição de derivada parcial para achar
e
, depois aplicar derivadas parciais novamente para obter
.
Passo 2
Para achar
, tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
. Usamos que
e que constantes fatoram:
dá
,
dá
, e
dá
. Logo
Passo 3
Para achar
, tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
. Usamos que
e constantes fatoram:
dá
,
dá
, e
dá zero. Logo
Passo 4
Agora obtemos
e
diferenciando
. Para
derivamos
em relação a
, tratando
como constante: de
vem
, de
vem zero, de
vem
. Assim
Para
Passo 5
Finalmente obtemos
e
a partir de
. Para
derivamos
em relação a
: de
vem
, de
vem
. Logo
e isso confirma o Teorema de Clairaut (
Resposta
f_{xx}=6y+12x^2, f_{xy}=6x-6y^2, f_{yx}=6x-6y^2, f_{yy}=-12xy