Determine fxx, fxy, fyx e fyy para cada uma das seguintes funções:
f(x, y)=3 x^2 y-2 x y^3+x^4

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=3x^2y-2xy^3+x^4. O conteúdo é diferenciação parcial: primeiro precisamos usar a definição de derivada parcial para achar fx e fy, depois aplicar derivadas parciais novamente para obter fxx,fxy,fyx,fyy.

Passo 2

Para achar fx, tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x. Usamos que partialpartial x(x^n)=nx^n-1 e que constantes fatoram:
f(x,y)=3x^2y 6xy, -2xy^3 -2y^3, e x^4 4x^3. Logo
fx=6xy-2y^3+4x^3

Passo 3

Para achar fy, tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y. Usamos que partialpartial y(y^n)=ny^n-1 e constantes fatoram:
3x^2y 3x^2, -2xy^3 -6xy^2, e x^4 dá zero. Logo
fy=3x^2-6xy^2

Passo 4

Agora obtemos fxx e fxy diferenciando fx. Para fxx derivamos fx em relação a x, tratando y como constante: de 6xy vem 6y, de -2y^3 vem zero, de 4x^3 vem 12x^2. Assim
fxx=6y+12x^2
Para fxy derivamos fx em relação a y, tratando x como constante: de 6xy vem 6x, de -2y^3 vem -6y^2, de 4x^3 vem zero. Logo
fxy=6x-6y^2

Passo 5

Finalmente obtemos fyx e fyy a partir de fy. Para fyx derivamos fy em relação a x: de 3x^2 vem 6x, de -6xy^2 vem -6y^2. Logo
fyx=6x-6y^2,
e isso confirma o Teorema de Clairaut ( fxy=fyx). Para fyy derivamos fy em relação a y: de 3x^2 vem zero, de -6xy^2 vem -12xy. Assim
fyy=-12xy

Resposta

f_{xx}=6y+12x^2, f_{xy}=6x-6y^2, f_{yx}=6x-6y^2, f_{yy}=-12xy

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