Calcule o limite ou mostre que não existe:
lim x 2^+ x^2-2 x-8x^2-5 x+6.

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral direito de uma função racional em x→2⁺. O conteúdo principal aqui é limite de função que apresenta indeterminação do tipo 
(…)∕0, e vamos precisar fatorar numerador e denominador para analisar o comportamento próximo a x=2.

Passo 2

Vamos fatorar as expressões polinomiais. Temos:
x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) 
Portanto a função fica f(x)=(x - 4)(x + 2)(x - 2)(x - 3).

Passo 3

Agora, para x→2⁺, analisamos o sinal e a magnitude das partes: 
• x−4 → 2−4=−2 (constante negativa) 
• x+2 → 2+2=4 (constante positiva) 
• x−2 → valor pequeno positivo (pois x>2) 
• x−3 → 2−3=−1 (constante negativa) 
Logo o numerador tende a −2·4=−8 (negativo) e o denominador tende a (positivo·negativo)=negativo e muito pequeno, ou seja, 0⁻. A divisão de um valor negativo por um valor quase zero negativo dá um resultado positivamente muito grande.

Passo 4

Concluímos que, ao fazermos x aproximar 2 pela direita, o valor da função cresce sem limite. Portanto, o limite diverge para mais infinito.

Resposta

(+\infty)

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