Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função cuja limite queremos é
. - O ponto de interesse é
. - Precisamos decidir se esse limite existe (e achar o valor) ou mostrar que não existe.
Passo 2
Breve explicação do que significa existir o limite em duas variáveis (pra fazer sentido do que vou usar):
- Dizemos que
se, para qualquer maneira de aproximar por (isto é, por qualquer sequência ou por qualquer curva/passo), o valor de tende para o mesmo número . - Uma maneira prática e comum de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas trajetórias diferentes que chegam a
e que dão limites diferentes para . Se isso acontecer, o limite global não pode existir.
Passo 3
Escolho aproximar
por retas que passam pela origem:
, com
constante real. Para evitar problemas ao dividir por
, reparametro com
e
, com
. Substituo na expressão:
Agora simplifico passo a passo os termos do numerador e do denominador:
Logo a razão fica
onde, na última igualdade, eu fatorizei
em cima e cancelei (isso é válido para
; estamos tomando o limite
, então a expressão para
é a relevante). Agora faço
:
Passo 4
Interpreto o resultado obtido ao seguir a trajetória
: o limite ao longo dessa reta é
Esse valor depende de
. Para ver que isso impede a existência do limite global, basta escolher dois valores de
diferentes e observar que dão resultados distintos:
- Para
(trajetória ) o valor é . - Para
(trajetória ) o valor é .
Como as duas trajetórias que chegam ao mesmo ponto
produzem limites diferentes (
e
), o limite não pode ser único. Portanto o limite da função quando
não existe.
Resposta
O limite não existe.