Calcule o limite ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y+x y}{x^{2}-x^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y + xy}{x^{2} - x^{4} + y^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função cuja limite queremos é f(x,y)=\dfrac{x^{2}y + xy}{x^{2} - x^{4} + y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • Precisamos decidir se esse limite existe (e achar o valor) ou mostrar que não existe.

Passo 2

Breve explicação do que significa existir o limite em duas variáveis (pra fazer sentido do que vou usar):
  • Dizemos que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L se, para qualquer maneira de aproximar (x,y) por (0,0) (isto é, por qualquer sequência (x_n,y_n)\to(0,0) ou por qualquer curva/passo), o valor de f(x,y) tende para o mesmo número L.
  • Uma maneira prática e comum de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas trajetórias diferentes que chegam a (0,0) e que dão limites diferentes para f(x,y). Se isso acontecer, o limite global não pode existir.

Passo 3

Escolho aproximar (0,0) por retas que passam pela origem: y = m x, com m constante real. Para evitar problemas ao dividir por x, reparametro com x=t e y=m t, com t\to0. Substituo na expressão:
\frac{x^{2}y + xy}{x^{2} - x^{4} + y^{2}} = \frac{t^{2}\cdot(m t) + t\cdot(m t)}{t^{2} - t^{4} + (m t)^{2}}.
Agora simplifico passo a passo os termos do numerador e do denominador:
\text{numerador} = t^{2}\cdot m t + t\cdot m t = m t^{3} + m t^{2} = m(t^{3}+t^{2}),
\text{denominador} = t^{2} - t^{4} + m^{2} t^{2} = t^{2}\bigl(1 + m^{2} - t^{2}\bigr).
Logo a razão fica
\frac{m(t^{3}+t^{2})}{t^{2}\bigl(1 + m^{2} - t^{2}\bigr)} = \frac{m\bigl(t^{3}+t^{2}\bigr)}{t^{2}\bigl(1 + m^{2} - t^{2}\bigr)} = \frac{m\bigl(t+1\bigr)}{1 + m^{2} - t^{2}},
onde, na última igualdade, eu fatorizei t^{2} em cima e cancelei (isso é válido para t\neq0; estamos tomando o limite t\to0, então a expressão para t\neq0 é a relevante). Agora faço t\to0:
\lim_{t\to0} \frac{m\bigl(t+1\bigr)}{1 + m^{2} - t^{2}} = \frac{m\cdot 1}{1 + m^{2}} = \frac{m}{1 + m^{2}}.

Passo 4

Interpreto o resultado obtido ao seguir a trajetória y=mx: o limite ao longo dessa reta é
\frac{m}{1 + m^{2}}.
Esse valor depende de m. Para ver que isso impede a existência do limite global, basta escolher dois valores de m diferentes e observar que dão resultados distintos:
  • Para m=0 (trajetória y=0) o valor é \dfrac{0}{1+0^{2}}=0.
  • Para m=1 (trajetória y=x) o valor é \dfrac{1}{1+1^{2}}=\dfrac{1}{2}.
Como as duas trajetórias que chegam ao mesmo ponto (0,0) produzem limites diferentes ( 0 e \tfrac{1}{2}), o limite não pode ser único. Portanto o limite da função quando (x,y)\to(0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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