Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função é
definida em todos os pontos onde o denominador não é zero; aqui só nos interessa o comportamento quando se aproxima de . - Precisamos determinar se existe um número
tal que quando . Se existir, encontrar ; se não existir, justificar mostrando a dependência do valor limite em relação ao caminho de aproximação.
Passo 2
Breve lembrete didático sobre limites em múltiplas variáveis (passo a passo, sem jargão):
- Para que o limite
exista e valha , toda sequência que tende para deve fazer . - Uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que se aproximam de
e que produzem limites diferentes para . Se acharmos caminhos que dão resultados distintos, concluímos que o limite não existe. - Se muitos caminhos óbvios dão zero, isso não prova existência. Precisamos buscar um caminho que dê outro valor.
Passo 3
Testando caminhos simples (e explicando por quê fazemos isso):
- Primeiro, verifique os eixos coordenados, que são caminhos fáceis:
- Para
(ou seja ): Logo ao aproximar pela reta o valor tende a . - Para
(ou seja ): Também tende a .
- Para
- Observação didática: muitos problemas enganam aqui — eixos e retas dão zero, mas pode haver curvas mais sutis que produzem outro valor.
Passo 4
Testando retas
(por que testar retas? são caminhos naturais):
- Substituímos
em : Factorizando no denominador: - Quando
isso tende a para todo . Conclusão: todas as retas através da origem dão limite zero. Ainda assim, isso não garante existência do limite global.
Passo 5
Ideia para achar um caminho que dê valor diferente: igualar ordens (graus) de numerador e denominador
- Observação importante (didática): o numerador tem ordem (em potências) aproximadamente
— se e são expressos por potências de um pequeno parâmetro , podemos comparar os expoentes para tentar fazer numerador e denominador ter a mesma ordem em . Se conseguimos isso, o limite pode ser um número não nulo que depende do coeficiente do caminho. - Procuramos uma parametrização do tipo
tal que as potências no numerador e no denominador fiquem iguais: - Numerador:
vira . - Denominador:
tem termos e . Para que um equilíbrio ocorra, escolhemos (para que os dois termos do denominador tenham a mesma ordem).
- Numerador:
- Da igualdade
obtemos , então uma escolha simples é (pequenos inteiros positivos). Assim podemos parametrizar por : onde incluímos um parâmetro para variar a inclinação/forma da curva (é como escolher diferentes caminhos com mesma relação de potências).
Passo 6
Calcular o limite ao longo da curva
- Substituindo na função:
- Dividindo numerador por denominador:
- Quando
esse quociente é constante, igual a . Ou seja, ao longo dessa curva o valor da função tende para , que depende de .
Passo 7
Concluir por dependência do caminho
- Como o valor limite ao longo das curvas parametrizadas por
é , e esse valor varia com , escolhemos exemplos concretos: - Para
obtemos . - Para
obtemos .
- Para
- Dois caminhos (por exemplo
e ) dão limites distintos ( e ). Portanto o limite quando depende do caminho escolhido e, por isso, NÃO existe.
Resposta
O limite não existe.