Calcule o limite ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y^{2}}{x^{6}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}y^{2}}{x^{6}+y^{4}}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{3}y^{2}}{x^{6}+y^{4}} definida em todos os pontos onde o denominador não é zero; aqui só nos interessa o comportamento quando (x,y) se aproxima de (0,0).
  • Precisamos determinar se existe um número L tal que \dfrac{x^{3}y^{2}}{x^{6}+y^{4}}\to L quando (x,y)\to(0,0). Se existir, encontrar L; se não existir, justificar mostrando a dependência do valor limite em relação ao caminho de aproximação.

Passo 2

Breve lembrete didático sobre limites em múltiplas variáveis (passo a passo, sem jargão):
  • Para que o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista e valha L, toda sequência (x_n,y_n) que tende para (0,0) deve fazer f(x_n,y_n)\to L.
  • Uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que se aproximam de (0,0) e que produzem limites diferentes para f. Se acharmos caminhos que dão resultados distintos, concluímos que o limite não existe.
  • Se muitos caminhos óbvios dão zero, isso não prova existência. Precisamos buscar um caminho que dê outro valor.

Passo 3

Testando caminhos simples (e explicando por quê fazemos isso):
  • Primeiro, verifique os eixos coordenados, que são caminhos fáceis:
    • Para x=0 (ou seja (0,y)\to(0,0)): f(0,y)=\frac{0^{3}\,y^{2}}{0^{6}+y^{4}}=0.Logo ao aproximar pela reta x=0 o valor tende a 0.
    • Para y=0 (ou seja (x,0)\to(0,0)): f(x,0)=\frac{x^{3}\,0^{2}}{x^{6}+0^{4}}=0.Também tende a 0.
  • Observação didática: muitos problemas enganam aqui — eixos e retas dão zero, mas pode haver curvas mais sutis que produzem outro valor.

Passo 4

Testando retas y=kx (por que testar retas? são caminhos naturais):
  • Substituímos y=kx em f: f(x,kx)=\frac{x^{3}\,(kx)^{2}}{x^{6}+(kx)^{4}}=\frac{k^{2}x^{5}}{x^{6}+k^{4}x^{4}}.Factorizando x^{4} no denominador: f(x,kx)=\frac{k^{2}x^{5}}{x^{4}(x^{2}+k^{4})}=\frac{k^{2}x}{x^{2}+k^{4}}.
  • Quando x\to 0 isso tende a 0 para todo k. Conclusão: todas as retas através da origem dão limite zero. Ainda assim, isso não garante existência do limite global.

Passo 5

Ideia para achar um caminho que dê valor diferente: igualar ordens (graus) de numerador e denominador
  • Observação importante (didática): o numerador tem ordem (em potências) aproximadamente x^{3}y^{2} — se x e y são expressos por potências de um pequeno parâmetro t, podemos comparar os expoentes para tentar fazer numerador e denominador ter a mesma ordem em t. Se conseguimos isso, o limite pode ser um número não nulo que depende do coeficiente do caminho.
  • Procuramos uma parametrização do tipo x=t^{a},\;y=t^{b} tal que as potências no numerador e no denominador fiquem iguais:
    • Numerador: x^{3}y^{2} vira t^{3a+2b}.
    • Denominador: x^{6}+y^{4} tem termos t^{6a} e t^{4b}. Para que um equilíbrio ocorra, escolhemos 6a=4b (para que os dois termos do denominador tenham a mesma ordem).
  • Da igualdade 6a=4b obtemos 3a=2b, então uma escolha simples é a=2,\;b=3 (pequenos inteiros positivos). Assim podemos parametrizar por t\to 0: x=t^{2},\qquad y=m\,t^{3},onde incluímos um parâmetro m\in\mathbb{R} para variar a inclinação/forma da curva (é como escolher diferentes caminhos com mesma relação de potências).

Passo 6

Calcular o limite ao longo da curva x=t^{2},\;y=m t^{3}
  • Substituindo na função: x^{3}y^{2}=(t^{2})^{3}\,(m t^{3})^{2}=t^{6}\cdot m^{2}t^{6}=m^{2}t^{12}.
x^{6}+y^{4}=(t^{2})^{6}+(m t^{3})^{4}=t^{12}+m^{4}t^{12}=(1+m^{4})t^{12}.
  • Dividindo numerador por denominador: f(t^{2},m t^{3})=\frac{m^{2}t^{12}}{(1+m^{4})t^{12}}=\frac{m^{2}}{1+m^{4}}.
  • Quando t\to 0 esse quociente é constante, igual a \dfrac{m^{2}}{1+m^{4}}. Ou seja, ao longo dessa curva o valor da função tende para \dfrac{m^{2}}{1+m^{4}}, que depende de m.

Passo 7

Concluir por dependência do caminho
  • Como o valor limite ao longo das curvas parametrizadas por x=t^{2},\;y=m t^{3} é \dfrac{m^{2}}{1+m^{4}}, e esse valor varia com m, escolhemos exemplos concretos:
    • Para m=0 obtemos \dfrac{0^{2}}{1+0^{4}}=0.
    • Para m=1 obtemos \dfrac{1^{2}}{1+1^{4}}=\dfrac{1}{2}.
  • Dois caminhos (por exemplo m=0 e m=1) dão limites distintos ( 0 e \tfrac{1}{2}). Portanto o limite quando (x,y)\to(0,0) depende do caminho escolhido e, por isso, NÃO existe.

Resposta

O limite não existe.

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