Calcule o limite das seguintes funções:
\lim _{h \rightarrow 2}\left[\frac{h^{3}-8}{h-2}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\to 2}\left[\frac{h^{3}-8}{h-2}\right].
Informações fornecidas: a função é a razão entre h^{3}-8 e h-2 e a variável h tende para 2. O objetivo é encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro tente a substituição direta: substituir h=2 na expressão. Calculando numerador e denominador separadamente,
h^{3}-8\Big|_{h=2}=2^{3}-8=8-8=0, \qquad h-2\Big|_{h=2}=2-2=0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso indica que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição e precisamos manipular a expressão algebraicamente.

Passo 3

Quando aparece a forma indeterminada \tfrac{0}{0} é comum tentar fatorar e cancelar fatores comuns entre numerador e denominador. Aqui o numerador é uma diferença de cubos: h^{3}-8. Lembrete da identidade algébrica (fórmula útil):
a^{3}-b^{3}=(a-b)\,(a^{2}+ab+b^{2}),
onde a e b são quaisquer expressões ou números. Vou aplicar essa fórmula com a=h e b=2.

Passo 4

Aplicando a identidade com a=h e b=2 obtemos
h^{3}-8 = h^{3}-2^{3}=(h-2)\bigl(h^{2}+2h+2^{2}\bigr)=(h-2)\bigl(h^{2}+2h+4\bigr).

Passo 5

Substituindo essa fatoração na razão original:
\frac{h^{3}-8}{h-2}=\frac{(h-2)\bigl(h^{2}+2h+4\bigr)}{h-2}.
Para h\neq 2 é permitido cancelar o fator comum h-2, ficando a expressão equivalente
\frac{h^{3}-8}{h-2}=h^{2}+2h+4\quad\text{(para \(h\neq 2\)).}
Como o limite considera valores de h arbitrariamente próximos de 2 mas não necessariamente iguais a 2, podemos substituir nessa expressão simplificada para achar o limite.

Passo 6

Agora calcula-se o limite substituindo h=2 na expressão simplificada:
\lim_{h\to 2}\left(h^{2}+2h+4\right)=2^{2}+2\cdot 2+4=4+4+4=12.

Resposta

12

Exercícios relacionados