Calcule o limite das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de limite é
.
A tarefa é determinar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro teste: tentar a substituição direta para ver se é possível avaliar o limite sem manipulação. Calcular numerador e denominador em
:
Obtivemos a forma
, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela simples substituição e precisamos manipular algebraicamente a expressão para remover a indeterminação.
Passo 3
Método escolhido: fatoração. Explicação do conceito usado — diferença de quadrados:
Para quaisquer números e
vale a identidade
Para quaisquer números
Aqui podemos ver
como
. Aplicando a identidade:
Passo 4
Substituindo a fatoração na função original temos, para
:
Como
é um fator comum (e diferente de zero para
), podemos simplificar (cancelar) esse fator:
Isto mostra que, em todo ponto próximo de
(exceto exatamente em
), a expressão vale
. Como
é uma função linear contínua, o limite da expressão original, quando existe, será igual ao limite de
naquele ponto.
Passo 5
Calcular o limite da função simplificada por substituição direta (agora possível porque não há indeterminação):
Portanto o limite existe e vale
.