Calcule o limite das seguintes funções:
\lim _{x \rightarrow \frac{-2}{3}}\left[\frac{9 x^{2}-4}{3 x+2}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\tfrac{2}{3}}\left[\frac{9x^{2}-4}{3x+2}\right].
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{9x^{2}-4}{3x+2}.
  • O ponto de limite é x\to -\tfrac{2}{3}.
    A tarefa é determinar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro teste: tentar a substituição direta para ver se é possível avaliar o limite sem manipulação. Calcular numerador e denominador em x=-\tfrac{2}{3}:
9\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}-4=9\cdot\left(\tfrac{4}{9}\right)-4=4-4=0,
3\left(-\tfrac{2}{3}\right)+2=-2+2=0.
Obtivemos a forma \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela simples substituição e precisamos manipular algebraicamente a expressão para remover a indeterminação.

Passo 3

Método escolhido: fatoração. Explicação do conceito usado — diferença de quadrados:
Para quaisquer números a e b vale a identidade
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui podemos ver 9x^{2}-4 como (3x)^{2}-2^{2}. Aplicando a identidade:
9x^{2}-4=(3x-2)(3x+2).

Passo 4

Substituindo a fatoração na função original temos, para x\neq -\tfrac{2}{3}:
\frac{9x^{2}-4}{3x+2}=\frac{(3x-2)(3x+2)}{3x+2}.
Como 3x+2 é um fator comum (e diferente de zero para x\neq -\tfrac{2}{3}), podemos simplificar (cancelar) esse fator:
\frac{(3x-2)(3x+2)}{3x+2}=3x-2\qquad\text{para }x\neq -\tfrac{2}{3}.
Isto mostra que, em todo ponto próximo de -\tfrac{2}{3} (exceto exatamente em -\tfrac{2}{3}), a expressão vale 3x-2. Como 3x-2 é uma função linear contínua, o limite da expressão original, quando existe, será igual ao limite de 3x-2 naquele ponto.

Passo 5

Calcular o limite da função simplificada por substituição direta (agora possível porque não há indeterminação):
\lim_{x\to -\tfrac{2}{3}}(3x-2)=3\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)-2=-2-2=-4.
Portanto o limite existe e vale -4.

Resposta

-4

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