Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{x \rightarrow-3}\left[3^{2 x-3}-\sqrt{4 x^{2}+3}\right].

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to-3}\left[3^{2x-3}-\sqrt{4x^{2}+3}\right].
Informações dadas e o que precisamos observar:
  • A expressão é a diferença de duas funções: f(x)=3^{2x-3} e g(x)=\sqrt{4x^{2}+3}.
  • O ponto onde o limite é pedido é x=-3.
  • É preciso verificar se as duas funções estão bem definidas perto de x=-3 e então aplicar resultados sobre limites (soma/diferença e continuidade) para calcular o valor do limite.

Passo 2

Enunciando os teoremas que vamos usar (com explicação curta e suficiente para uma prova):
Teorema 1 (Leis de limites: soma e diferença).
Se existem \lim_{x\to a} u(x)=L e \lim_{x\to a} v(x)=M, então
\lim_{x\to a}\bigl(u(x)\pm v(x)\bigr)=L\pm M.
Esse teorema é elementar e usado sempre: limites se combinam por soma e diferença.
Teorema 2 (Continuidade de polinômios).
Qualquer polinômio p(x) é contínuo em todo \mathbb{R}. Ou seja, \lim_{x\to a}p(x)=p(a) para todo a.
Teorema 3 (Continuidade de funções elementares e composição).
  • A função exponencial e^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}.
  • Se a>0 é constante, a função t\mapsto a^{t} é contínua (pois a^{t}=e^{t\ln a} e é composição de funções contínuas).
  • A função raiz quadrada \sqrt{t} é contínua em seu domínio [0,\infty).
  • Se h(x) é contínua em a e F é contínua em h(a), então a composição F\circ h é contínua em a. Portanto \lim_{x\to a}F(h(x))=F(h(a)).
Esses teoremas justificam que, quando as expressões internas têm limites finitos e pertencem ao domínio das funções (por ex. argumento da raiz não-negativo), podemos substituir x=a diretamente.

Passo 3

Verificar domínio e existência das quantidades no ponto x=-3.
Avaliar o argumento da raiz em x=-3:
4x^{2}+3 \quad\text{em}\quad x=-3 \implies 4\cdot(-3)^{2}+3=4\cdot 9 + 3 = 36+3 = 39.
Observação: 39>0, portanto \sqrt{4x^{2}+3} está bem definida em x=-3 e a raiz é contínua naquele ponto.
O expoente da função exponencial em x=-3 é 2x-3, que é um polinômio e portanto contínuo; não há problema em avaliá-lo em x=-3.
Conclusão: ambas as funções são bem definidas e contínuas em x=-3, logo os limites das duas partes existem e são os valores das funções naquele ponto.

Passo 4

Aplicar o Teorema 1 (diferença de limites). Como os limites das parcelas existem, podemos escrever:
\lim_{x\to-3}\left[3^{2x-3}-\sqrt{4x^{2}+3}\right] = \lim_{x\to-3}3^{2x-3}\;-\;\lim_{x\to-3}\sqrt{4x^{2}+3}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \lim_{x\to-3}3^{2x-3}.
Primeiro avaliar o polinômio no expoente:
\lim_{x\to-3}(2x-3)=2\cdot(-3)-3=-6-3=-9.
Como a função t\mapsto 3^{t} é contínua em todo \mathbb{R}, pela composição obtemos
\lim_{x\to-3}3^{2x-3}=3^{-9}.
Podemos também escrever 3^{-9}=\dfrac{1}{3^{9}}=\dfrac{1}{19683}, se for útil lembrar o valor numérico.

Passo 6

Calcular \displaystyle \lim_{x\to-3}\sqrt{4x^{2}+3}.
Primeiro usar continuidade do polinômio:
\lim_{x\to-3}(4x^{2}+3)=4\cdot(-3)^{2}+3=39.
Como a função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em t=39 (já que 39>0), pela composição obtemos
\lim_{x\to-3}\sqrt{4x^{2}+3}=\sqrt{39}.

Passo 7

Juntando os resultados das Passos 5 e 6 na expressão do Passo 4, temos
\lim_{x\to-3}\left[3^{2x-3}-\sqrt{4x^{2}+3}\right]=3^{-9}-\sqrt{39}.
Se desejar uma aproximação numérica rápida:
3^{-9}=\dfrac{1}{19683}\approx 0{,}0000508\quad\text{e}\quad \sqrt{39}\approx 6{,}2450,
logo numericamente o limite é aproximadamente -6{,}24495. Mas o valor exato é 3^{-9}-\sqrt{39}.

Resposta

3^{-9}-\sqrt{39}

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