Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que precisamos observar:
- A expressão é a diferença de duas funções:
e . - O ponto onde o limite é pedido é
. - É preciso verificar se as duas funções estão bem definidas perto de
e então aplicar resultados sobre limites (soma/diferença e continuidade) para calcular o valor do limite.
Passo 2
Enunciando os teoremas que vamos usar (com explicação curta e suficiente para uma prova):
Teorema 1 (Leis de limites: soma e diferença).
Se existem e
, então
Se existem
Esse teorema é elementar e usado sempre: limites se combinam por soma e diferença.
Teorema 2 (Continuidade de polinômios).
Qualquer polinômio é contínuo em todo
. Ou seja,
para todo
.
Qualquer polinômio
Teorema 3 (Continuidade de funções elementares e composição).
- A função exponencial
é contínua para todo . - Se
é constante, a função é contínua (pois e é composição de funções contínuas). - A função raiz quadrada
é contínua em seu domínio . - Se
é contínua em e é contínua em , então a composição é contínua em . Portanto .
Esses teoremas justificam que, quando as expressões internas têm limites finitos e pertencem ao domínio das funções (por ex. argumento da raiz não-negativo), podemos substituir
diretamente.
Passo 3
Verificar domínio e existência das quantidades no ponto
.
Avaliar o argumento da raiz em
:
Observação:
, portanto
está bem definida em
e a raiz é contínua naquele ponto.
O expoente da função exponencial em
é
, que é um polinômio e portanto contínuo; não há problema em avaliá-lo em
.
Conclusão: ambas as funções são bem definidas e contínuas em
, logo os limites das duas partes existem e são os valores das funções naquele ponto.
Passo 4
Aplicar o Teorema 1 (diferença de limites). Como os limites das parcelas existem, podemos escrever:
Passo 5
Calcular
.
Primeiro avaliar o polinômio no expoente:
Como a função
é contínua em todo
, pela composição obtemos
Podemos também escrever
, se for útil lembrar o valor numérico.
Passo 6
Calcular
.
Primeiro usar continuidade do polinômio:
Como a função
é contínua em
(já que
), pela composição obtemos
Passo 7
Juntando os resultados das Passos 5 e 6 na expressão do Passo 4, temos
Se desejar uma aproximação numérica rápida:
logo numericamente o limite é aproximadamente
. Mas o valor exato é
.