Calcule o limite das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função é a razão
. - O ponto onde queremos o limite é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro teste: tentar a substituição direta
(método mais simples — sempre tente isso primeiro).
Calcular o numerador em :
Calcular o numerador em
Calcular o denominador em
:
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso indica que existe uma possível fator comum que pode ser cancelado (ou que seria necessário outro método, como L’Hôpital). Aqui vamos procurar fatoração.
Passo 3
Vamos fatorar numerador e denominador. Para quadráticos, procura-se dois números cuja soma seja o coeficiente de
e cujo produto seja o termo independente.
Fatorando o numerador
:
Procuramos dois números que somem e multipliquem
. Esses números são
e
. Logo
Procuramos dois números que somem
Fatorando o denominador
:
Procuramos dois números que somem e multipliquem
. Esses números são
e
. Logo
Procuramos dois números que somem
Passo 4
Substituindo as fatorações na expressão original obtemos
Como
na vizinhança do limite (limite considera valores próximos, não necessariamente o valor no ponto), podemos cancelar o fator comum
. Após o cancelamento obtemos a forma simplificada
Passo 5
Agora que a expressão está simplificada para uma função contínua na vizinhança de
(o denominador
é
em
, não nulo), podemos usar a propriedade de limites que permite substituir diretamente:
Calcular:
Passo 6
Interpretação final: o limite existe e vale
. Observação importante — a função original não está definida em
(denominador zero), mas o limite é bem definido; isso é chamado de descontinuidade removível (poderia definir a função em
como
para torná-la contínua).