Calcule o limite das seguintes funções:
\lim _{x \rightarrow 3}\left[\frac{x^{2}-4 x+3}{x^{2}-x-6}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 3}\left[\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x-6}\right].
Informações dadas:
  • A função é a razão \dfrac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x-6}.
  • O ponto onde queremos o limite é x\to 3.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro teste: tentar a substituição direta x=3 (método mais simples — sempre tente isso primeiro).
Calcular o numerador em x=3:
3^{2}-4\cdot3+3 = 9-12+3 = 0.
Calcular o denominador em x=3:
3^{2}-3-6 = 9-3-6 = 0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso indica que existe uma possível fator comum que pode ser cancelado (ou que seria necessário outro método, como L’Hôpital). Aqui vamos procurar fatoração.

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador. Para quadráticos, procura-se dois números cuja soma seja o coeficiente de x e cujo produto seja o termo independente.
Fatorando o numerador x^{2}-4x+3:
Procuramos dois números que somem -4 e multipliquem 3. Esses números são -1 e -3. Logo
x^{2}-4x+3 = (x-1)(x-3).
Fatorando o denominador x^{2}-x-6:
Procuramos dois números que somem -1 e multipliquem -6. Esses números são 2 e -3. Logo
x^{2}-x-6 = (x-3)(x+2).

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original obtemos
\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x-6} = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+2)}.
Como x\neq 3 na vizinhança do limite (limite considera valores próximos, não necessariamente o valor no ponto), podemos cancelar o fator comum x-3. Após o cancelamento obtemos a forma simplificada
\frac{x-1}{x+2},\qquad x\neq 3.

Passo 5

Agora que a expressão está simplificada para uma função contínua na vizinhança de x=3 (o denominador x+2 é 5 em x=3, não nulo), podemos usar a propriedade de limites que permite substituir diretamente:
\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x-6} = \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-1}{x+2} = \frac{3-1}{3+2}.
Calcular:
\frac{3-1}{3+2}=\frac{2}{5}.

Passo 6

Interpretação final: o limite existe e vale \dfrac{2}{5}. Observação importante — a função original não está definida em x=3 (denominador zero), mas o limite é bem definido; isso é chamado de descontinuidade removível (poderia definir a função em x=3 como 2/5 para torná-la contínua).

Resposta

\dfrac{2}{5}

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