Calcule o limite das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O que se pede: o valor numérico do limite quando
tende para .
Passo 2
Primeiro passo prático para ver qual estratégia usar: testar substituição direta (isto identifica se é um caso indeterminado).
Calcular as imagens em :
Calcular as imagens em
Vamos efetuar essas contas no próximo passo. Se obtivermos
então teremos uma forma indeterminada e precisaremos fatorar e cancelar fatores comuns.
Passo 3
Avaliação direta (contas passo a passo):
Como o numerador e o denominador são ambos
em
, a expressão tem a forma indeterminada
. Métodos possíveis: regra de l’Hôpital (derivadas) ou fatoração e simplificação. Aqui vamos usar fatoração e cancelamento porque temos polinômios (método algébrico direto, sem cálculo diferencial), que geralmente é mais rápido e apropriado em provas sem calculadora.
Passo 4
Aplicar o Teorema do Resto / Teorema do Fator: se
então
é fator de
. Como obtivemos zero ao substituir
, conclui-se que
é fator tanto do numerador quanto do denominador. Vamos dividir ambos por
(fazendo divisão sintética ou divisão de polinômios) e escrever o quociente.
Divisão sintética do numerador
por
(usa-se
como divisor sintético). Coeficientes:
.
- Descer
. - Multiplicar por
: . Somar a dá . - Multiplicar por
: . Somar a dá . - Multiplicar por
: . Somar a dá . - Multiplicar por
: . Somar a dá (resto).
Quociente obtido:. Portanto
(Obs.: escrevendo o termo
como omitido, o quociente é
.)
Passo 5
Agora dividir o denominador
por
. Coeficientes:
.
- Descer
. - Multiplicar por
: . Somar a dá . - Multiplicar por
: . Somar a dá . - Multiplicar por
: . Somar a dá (resto).
Quociente obtido:. Logo
Passo 6
Fatorar o quadrático
. Procuramos dois números cujo produto é
e soma é
: são
e
. Assim
Portanto o denominador completo fatorado é
Passo 7
Substituindo as fatorações na razão original:
Como
nas aproximações para o limite (estamos apenas tendendo a
), podemos cancelar o fator comum
, obtendo a função equivalente para
próximos de
:
Para calcular o limite, agora podemos simplesmente substituir
na expressão simplificada.
Passo 8
Avaliação final (contas detalhadas):
Numerador ao substituir :
Numerador ao substituir
Denominador ao substituir
:
Portanto o valor da expressão simplificada em
é