Calcule o limite das seguintes funções:
\lim _{x \rightarrow-1}\left[\frac{2 x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-x+2}{x^{3}+2 x^{2}-5 x-6}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-1}\left[\frac{2x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-x+2}{x^{3}+2x^{2}-5x-6}\right].
Informações dadas:
  • Numerador: 2x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-x+2.
  • Denominador: x^{3}+2x^{2}-5x-6.
  • O que se pede: o valor numérico do limite quando x tende para -1.

Passo 2

Primeiro passo prático para ver qual estratégia usar: testar substituição direta (isto identifica se é um caso indeterminado).
Calcular as imagens em x=-1:
\text{Numerador em }x=-1:\;2(-1)^{4}+2(-1)^{3}-3(-1)^{2}-(-1)+2,
\text{Denominador em }x=-1:\;(-1)^{3}+2(-1)^{2}-5(-1)-6.
Vamos efetuar essas contas no próximo passo. Se obtivermos 0/0 então teremos uma forma indeterminada e precisaremos fatorar e cancelar fatores comuns.

Passo 3

Avaliação direta (contas passo a passo):
2(-1)^{4}+2(-1)^{3}-3(-1)^{2}-(-1)+2 = 2\cdot1 + 2\cdot(-1) -3\cdot1 +1 +2 = 2-2-3+1+2 = 0.
(-1)^{3}+2(-1)^{2}-5(-1)-6 = -1 + 2 +5 -6 = 0.
Como o numerador e o denominador são ambos 0 em x=-1, a expressão tem a forma indeterminada 0/0. Métodos possíveis: regra de l’Hôpital (derivadas) ou fatoração e simplificação. Aqui vamos usar fatoração e cancelamento porque temos polinômios (método algébrico direto, sem cálculo diferencial), que geralmente é mais rápido e apropriado em provas sem calculadora.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Resto / Teorema do Fator: se p(a)=0 então (x-a) é fator de p(x). Como obtivemos zero ao substituir x=-1, conclui-se que (x+1) é fator tanto do numerador quanto do denominador. Vamos dividir ambos por (x+1) (fazendo divisão sintética ou divisão de polinômios) e escrever o quociente.
Divisão sintética do numerador 2x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-x+2 por x+1 (usa-se x=-1 como divisor sintético). Coeficientes: 2,\;2,\;-3,\;-1,\;2.
  • Descer 2.
  • Multiplicar por -1: -2. Somar a 2 0.
  • Multiplicar por -1: 0. Somar a -3 -3.
  • Multiplicar por -1: 3. Somar a -1 2.
  • Multiplicar por -1: -2. Somar a 2 0 (resto).
    Quociente obtido: 2x^{3}+0x^{2}-3x+2. Portanto
2x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-x+2 = (x+1)\bigl(2x^{3}-3x+2\bigr).
(Obs.: escrevendo o termo 0x^{2} como omitido, o quociente é 2x^{3}-3x+2.)

Passo 5

Agora dividir o denominador x^{3}+2x^{2}-5x-6 por x+1. Coeficientes: 1,\;2,\;-5,\;-6.
  • Descer 1.
  • Multiplicar por -1: -1. Somar a 2 1.
  • Multiplicar por -1: -1. Somar a -5 -6.
  • Multiplicar por -1: 6. Somar a -6 0 (resto).
    Quociente obtido: x^{2}+x-6. Logo
x^{3}+2x^{2}-5x-6 = (x+1)(x^{2}+x-6).

Passo 6

Fatorar o quadrático x^{2}+x-6. Procuramos dois números cujo produto é -6 e soma é 1: são 3 e -2. Assim
x^{2}+x-6 = (x+3)(x-2).
Portanto o denominador completo fatorado é
x^{3}+2x^{2}-5x-6 = (x+1)(x+3)(x-2).

Passo 7

Substituindo as fatorações na razão original:
\frac{2x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-x+2}{x^{3}+2x^{2}-5x-6} = \frac{(x+1)\bigl(2x^{3}-3x+2\bigr)}{(x+1)(x+3)(x-2)}.
Como x\neq-1 nas aproximações para o limite (estamos apenas tendendo a -1), podemos cancelar o fator comum (x+1), obtendo a função equivalente para x próximos de -1:
\frac{2x^{3}-3x+2}{(x+3)(x-2)}.
Para calcular o limite, agora podemos simplesmente substituir x=-1 na expressão simplificada.

Passo 8

Avaliação final (contas detalhadas):
Numerador ao substituir x=-1:
2(-1)^{3}-3(-1)+2 = 2\cdot(-1) +3 +2 = -2+5 = 3.
Denominador ao substituir x=-1:
(-1+3)(-1-2) = (2)(-3) = -6.
Portanto o valor da expressão simplificada em x=-1 é
\frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados