Calcule o limite das seguintes sequencias:
raiz[3]n^2 sen(n^2)n+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite da sequência:
raiz[3]n^2 cdot sin(n^2)n+2
Isso envolve conceitos de limites em sequências e comportamento de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como funções como sen(x) se comportam quando o x cresce muito, e também como comparar o crescimento de diferentes termos na expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Sabemos que:
raiz[3]n^2 = n^2/3
Então, a sequência fica:
n^2/3 cdot sin(n^2)n+2

Passo 3

Agora, vamos analisar os componentes da expressão:
  1. sin(n^2): A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de n. Isso significa que, independentemente de n, o valor de sin(n^2) nunca será maior que 1 ou menor que -1.
  2. n^2/3: Este termo cresce conforme n aumenta, mas de forma mais lenta comparado com termos de maior expoente.
  3. n + 2: Para valores grandes de n, o “+2” se torna insignificante, então podemos pensar que n + 2 approx n.

Passo 4

Vamos reescrever a sequência considerando que n + 2 approx n:
n^2/3 cdot sin(n^2)n = n^2/3n cdot sin(n^2) = n^-1/3 cdot sin(n^2)
Aqui, simplificamos n^2/3 / n para n^-1/3.

Passo 5

Agora, analisamos o termo n^-1/3:
n^-1/3 = 1n^1/3
À medida que n cresce infinitamente, n^1/3 também cresce, fazendo com que 1n^1/3 se aproxime de 0.

Passo 6

Juntando tudo, temos:
n^-1/3 cdot sin(n^2)
Sabemos que sin(n^2) está sempre entre -1 e 1, e n^-1/3 tende a 0. Então, o produto de um número que tende a 0 por algo que está limitado entre -1 e 1 também tende a 0.

Resposta

O limite da sequência é 0.

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