Calcule o limite das seguintes sequencias:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite da sequência:
Isso envolve conceitos de limites em sequências e comportamento de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como funções como sen(x) se comportam quando o x cresce muito, e também como comparar o crescimento de diferentes termos na expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Sabemos que:
Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar os componentes da expressão:
-
: A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de n. Isso significa que, independentemente de n, o valor de nunca será maior que 1 ou menor que -1. -
: Este termo cresce conforme n aumenta, mas de forma mais lenta comparado com termos de maior expoente. -
: Para valores grandes de n, o “+2” se torna insignificante, então podemos pensar que .
Passo 4
Vamos reescrever a sequência considerando que
:
Aqui, simplificamos
para
.
Passo 5
Agora, analisamos o termo
:
À medida que n cresce infinitamente,
também cresce, fazendo com que
se aproxime de 0.
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, e
tende a 0. Então, o produto de um número que tende a 0 por algo que está limitado entre -1 e 1 também tende a 0.
Resposta
O limite da sequência é 0.