Considere a equação diferencial de segunda ordem
x y^prime prime+12 y^prime-y=0
Sem calcular os coeficientes, como deve ser a forma da solução geral desta equação?

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem
x,y''+tfrac12,y'-y=0
Aqui o conteúdo é resolução de EDO de coeficientes variáveis usando mudança de variável para reduzir a uma EDO de coeficientes constantes.

Passo 2

A gente faz a substituição
t=2raizx, u(t)=y(x)
Usando a regra da cadeia, as derivadas viram
y'=u'(t)raizx, y''=u''(t)x-u'(t)2x^3/2

Passo 3

Substituindo na equação original
xl(u''x-u'2x^3/2r)+tfrac12l(u'raizxr)-u=0
os termos em u' se cancelam e sobra
u''(t)-u(t)=0,
que é uma EDO linear com coeficientes constantes.

Passo 4

A equação reduzida u''-u=0 tem solução geral
u(t)=C1e^t+C2e^-t
Voltando a x pelo t=2raizx, obtemos
y(x)=C1e^2raizx+C2e^-2raizx

Resposta

y(x)=C_{1}e{2\sqrt{x}}+C_{2}e{-2\sqrt{x}}

Exercícios relacionados