Calcule o limite das seguintes sequencias:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da sequência
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de limites envolvendo fatoriais e funções exponenciais. Vamos precisar entender como se comportam
e
quando
cresce muito, e aplicar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar quais termos crescem mais rápido conforme
aumenta. Sabemos que o fatorial
cresce muito rápido, mais rápido até que qualquer exponencial
. No nosso caso, temos
e
no numerador, e
e
no denominador.
Passo 3
Vamos comparar o crescimento de
e
. Mesmo que
cresça rápido,
também cresce exponencialmente e, nesse caso,
cresce mais rápido que
. No denominador, temos
e
. Aqui,
cresce mais rápido que
.
Passo 4
Agora, na hora de calcular o limite, vamos focar nos termos que mais dominam o crescimento. No numerador,
é o termo que mais cresce, e no denominador,
é o que mais cresce. Então, podemos simplificar a expressão considerando apenas esses termos principais:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento desse limite. Sabemos que
cresce exponencialmente, enquanto
também cresce, mas fatoriais crescem super exponencialmente. Portanto,
cresce mais rápido que
, fazendo com que o denominador cresça muito mais rápido que o numerador.
Passo 6
Com isso, o quociente
tende a zero quando
tende ao infinito, porque o denominador “engolfa” o numerador.
Resposta
Portanto, o limite da sequência é: