Calcule o limite das seguintes sequencias:
raizn!+e^2 n5 raizn!-e^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da sequência raizn! + e^2n5raizn! - e^n. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de limites envolvendo fatoriais e funções exponenciais. Vamos precisar entender como se comportam n! e e^kn quando n cresce muito, e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar quais termos crescem mais rápido conforme n aumenta. Sabemos que o fatorial n! cresce muito rápido, mais rápido até que qualquer exponencial e^kn. No nosso caso, temos raizn! e e^2n no numerador, e 5raizn! e e^n no denominador.

Passo 3

Vamos comparar o crescimento de raizn! e e^2n. Mesmo que raizn! cresça rápido, e^2n também cresce exponencialmente e, nesse caso, e^2n cresce mais rápido que raizn!. No denominador, temos 5raizn! e e^n. Aqui, 5raizn! cresce mais rápido que e^n.

Passo 4

Agora, na hora de calcular o limite, vamos focar nos termos que mais dominam o crescimento. No numerador, e^2n é o termo que mais cresce, e no denominador, 5raizn! é o que mais cresce. Então, podemos simplificar a expressão considerando apenas esses termos principais:
limn to infty e^2n5raizn!

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento desse limite. Sabemos que e^2n cresce exponencialmente, enquanto raizn! também cresce, mas fatoriais crescem super exponencialmente. Portanto, raizn! cresce mais rápido que e^2n, fazendo com que o denominador cresça muito mais rápido que o numerador.

Passo 6

Com isso, o quociente e^2n5raizn! tende a zero quando n tende ao infinito, porque o denominador “engolfa” o numerador.

Resposta

Portanto, o limite da sequência é:
limn to infty raizn! + e^2n5raizn! - e^n = 0

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