Calcule o limite das seguintes sequencias:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da sequência $ n^{1/n} $ quando $ n $ tende ao infinito. Vamos usar conhecimentos de Cálculo de Limites de Sequências e Propriedades de Logaritmos para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão usando logaritmos para facilitar o cálculo. Sabemos que:
Agora, precisamos calcular o limite de $ \frac{1}{n} \ln n $ quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 3
Vamos analisar cada parte dessa nova expressão:
- $ \ln n $ cresce sem limite quando $ n $ aumenta.
- $ \frac{1}{n} $ diminui para zero conforme $ n $ cresce.
Então, estamos lidando com uma situação em que uma função cresce lentamente ($ \ln n
\frac{1}{n} $). Para encontrar o limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma indeterminada $ \frac{\infty}{\infty} $.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Portanto, o limite de $ \frac{1}{n} \ln n $ é 0.
Passo 5
Agora que sabemos que:
Podemos voltar à nossa expressão original:
Resposta
O limite da sequência $ n^{1/n} $ quando $ n $ tende ao infinito é 1.