Calcule o limite das seguintes sequencias:
n^1 / n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da sequência $ n^{1/n} $ quando $ n $ tende ao infinito. Vamos usar conhecimentos de Cálculo de Limites de Sequências e Propriedades de Logaritmos para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando logaritmos para facilitar o cálculo. Sabemos que:
ln(n^1/n) = 1n ln n
Agora, precisamos calcular o limite de $ \frac{1}{n} \ln n $ quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 3

Vamos analisar cada parte dessa nova expressão:
  • $ \ln n $ cresce sem limite quando $ n $ aumenta.
  • $ \frac{1}{n} $ diminui para zero conforme $ n $ cresce.
Então, estamos lidando com uma situação em que uma função cresce lentamente ($ \ln n ln n \frac{1}{n} $). Para encontrar o limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma indeterminada $ \frac{\infty}{\infty} $.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital:
limn to infty ln nn = limn to infty ddn ln nddn n = limn to infty 1n1 = limn to infty 1n = 0
Portanto, o limite de $ \frac{1}{n} \ln n $ é 0.

Passo 5

Agora que sabemos que:
limn to infty 1n ln n = 0
Podemos voltar à nossa expressão original:
limn to infty n^1/n = limn to infty e^ln(n^1/n) = e^0 = 1

Resposta

O limite da sequência $ n^{1/n} $ quando $ n $ tende ao infinito é 1.

Exercícios relacionados