Determine:
A primitiva F(x) da função f(x)=(2 x^2-1)^2x^3 que passa pelo ponto P=(1,3 / 2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=(2x^2-1)^2x^3 que satisfaça F(1)=tfrac32. O conteúdo aqui é integração de funções racionais por expansão e soma de integrais, além de usar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro vamos expandir o numerador e simplificar f(x). Sabemos que
(2x^2-1)^2 = 4x^4 - 4x^2 + 1,
então
f(x)=4x^4 - 4x^2 + 1x^3 = 4x - 4x^-1 + x^-3

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Lembrando que integral x^n,dx = tfracx^n+1n+1+C para nneq -1 e integral x^-1dx=ln|x|+C. Assim:
integral 4x,dx = 2x^2,
integral (-4x^-1),dx = -4ln|x|,
integral x^-3,dx = x^-2-2 = -12x^2

Passo 4

Somando as integrais e incluindo a constante C, obtemos
F(x) = 2x^2 - 4ln|x| - 12x^2 + C

Passo 5

Para determinar C, usamos a condição F(1)=3/2. Substituindo x=1:
F(1) = 2(1)^2 - 4ln1 - 12(1)^2 + C = 2 - 0 - 12 + C = 32 + C

Passo 6

Queremos F(1)=tfrac32, logo
32 + C = 32 implies C = 0

Resposta

F(x)=2x^2 - 4ln|x| - 12x^2

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