Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite da sequência
Informações relevantes (vou usar o resultado da questão anterior): sabe-se que a sequência
tende a
quando
, e mais fortemente que
para qualquer
.
Passo 2
Vamos analisar a fração
. Note que
Como
para todo
, segue que
Além disso, a expressão acima mostra que
pois
.
Passo 3
Agora observe
para todo
e, pelo resultado da questão anterior, temos
Passo 4
Multiplicando a desigualdade do Passo 2 por
obtemos
Como
e
, pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto, squeeze theorem) concluímos que
Passo 5
(Argumento alternativo, útil para a prova.) Já que
e
, pelo teorema do produto de limites (ambos os limites existem e são finitos) segue que
Os dois métodos dão o mesmo resultado: limite igual a
.
Passo 6
Comentário final e intuição: a parte racional
fica próxima de
quando
cresce, enquanto
decai muito rápido para
. O produto, portanto, vai para
. Mais geral, qualquer polinômio em
multiplicado por
tende a
.