Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)
a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1} \cdot e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência
a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\cdot e^{-n}.
Informações relevantes (vou usar o resultado da questão anterior): sabe-se que a sequência \bigl(e^{-n}\bigr)_{n} tende a 0 quando n\to\infty, e mais fortemente que \lim_{n\to\infty} n^{p}e^{-n}=0 para qualquer p>0.

Passo 2

Vamos analisar a fração \dfrac{n^{2}}{n^{2}+1}. Note que
\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1-\frac{1}{n^{2}+1}.
Como \dfrac{1}{n^{2}+1}>0 para todo n, segue que
0<\frac{n^{2}}{n^{2}+1}<1\quad\text{para todo }n.
Além disso, a expressão acima mostra que
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1,
pois \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}+1}=0.

Passo 3

Agora observe e^{-n}>0 para todo n e, pelo resultado da questão anterior, temos
\lim_{n\to\infty}e^{-n}=0.

Passo 4

Multiplicando a desigualdade do Passo 2 por e^{-n}>0 obtemos
0<\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\cdot e^{-n}<e^{-n}.
Como \lim_{n\to\infty}0=0 e \lim_{n\to\infty}e^{-n}=0, pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto, squeeze theorem) concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\cdot e^{-n}=0.

Passo 5

(Argumento alternativo, útil para a prova.) Já que \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^{2}}{n^{2}+1}=1 e \lim_{n\to\infty}e^{-n}=0, pelo teorema do produto de limites (ambos os limites existem e são finitos) segue que
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\cdot e^{-n}\right)=1\cdot 0=0.
Os dois métodos dão o mesmo resultado: limite igual a 0.

Passo 6

Comentário final e intuição: a parte racional \dfrac{n^{2}}{n^{2}+1} fica próxima de 1 quando n cresce, enquanto e^{-n} decai muito rápido para 0. O produto, portanto, vai para 0. Mais geral, qualquer polinômio em n multiplicado por e^{-n} tende a 0.

Resposta

0

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