Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em x=0, e determine o intervalo de convergência da série.
(Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, \quad \text { para }|x|<1
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em x=0, e determine o intervalo de convergência da série.”
Informações explícitas que temos do enunciado:
  • A série deve ser centrada em x=0.
  • A dica fornece a série geométrica básica:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n},\quad\text{para }|x|<1.
Informação que falta (impedindo a resolução direta): a lista das funções a serem desenvolvidas NÃO foi fornecida. Sem saber quais são as funções específicas, não é possível escrever as séries correspondentes “para cada uma das funções a seguir”.

Passo 2

Mesmo sem as funções específicas, vou explicar com calma o método geral e mostrar exemplos típicos passo a passo — assim você aprende como resolver qualquer função semelhante na prova. Primeiro, a ideia básica (a “ferramenta”): a série geométrica e suas manipulações.
A série geométrica fundamental é
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n},\qquad |x|<1.
Interpretação prática: esse formato é um bloco de construção. Se uma função pode ser escrita como \dfrac{1}{1 - (\text{algo em } x)}, frequentemente dá para aplicar a série substituindo x por esse “algo”. A condição de convergência se transforma em |\text{algo}|<1.

Passo 3

Substituições simples — exemplos e regras:
  • Se a função for \dfrac{1}{1-ax} (com a constante), faça a substituição x\mapsto ax:
\frac{1}{1-ax}=\sum_{n=0}^\infty (ax)^n=\sum_{n=0}^\infty a^{n}x^{n},
com convergência para |ax|<1, ou seja |x|<\dfrac{1}{|a|}.
  • Se a função for \dfrac{1}{1+ax}, escreva \dfrac{1}{1-(-ax)} e aplique:
\frac{1}{1+ax}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a^{n} x^{n},\qquad |ax|<1.
Esses são os casos mais diretos — troque x por qualquer expressão linear em x e ajuste o raio de convergência.

Passo 4

Derivação e integração da série geométrica — porque muitas funções úteis vêm daí.
  1. Derivação. A série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo compacto dentro de |x|<1, então podemos derivar termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{(1-x)^2}
e derivando a soma
\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty x^n=\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}.
Assim obtemos a identidade (reindexando para potências x^n):
\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty (n+1) x^{n},\qquad |x|<1.
Dica prática para prova: quando vir \dfrac{1}{(1-x)^k} com k inteiro, pense em derivar repetidamente a série geométrica; os coeficientes serão polinômios em n (por exemplo, para k=3 aparecem combinações \binom{n+2}{2}).
  1. Integração. Integre a série geométrica termo a termo:
\int_0^x \frac{1}{1-t}\,dt=\int_0^x \sum_{n=0}^\infty t^n\,dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1}.
O lado esquerdo é -\ln(1-x), portanto
-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{n},\qquad |x|<1,
ou, escrito de forma mais comum,
\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{n},\qquad |x|<1.
Usando x\mapsto -x obtemos a série de \ln(1+x):
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{\,n+1}\frac{x^n}{n},\qquad |x|<1,
com convergência condicional em x=1 (soma para \ln 2) e divergência em x=-1.

Passo 5

Exemplos práticos completos (tipo “passo a passo” como pediriam na prova):
Exemplo A — encontrar série para \dfrac{1}{1+ x}, centrada em 0, e intervalo de convergência:
  • Reescrever como \dfrac{1}{1-(-x)}.
  • Aplicar a série geométrica:
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-x)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n.
  • Convergência: |-x|<1\Rightarrow |x|<1.
    Portanto resultado e intervalo: concluídos.
Exemplo B — encontrar série para \dfrac{1}{(1-x)^2}:
  • Partir da série geométrica e derivar:
\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n,\qquad |x|<1.
  • Convergência: |x|<1.
Exemplo C — encontrar série para \ln(1+x):
  • Usar integração da série de \dfrac{1}{1+t}:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n},\qquad |x|<1,
com convergência condicional em x=1 e divergência em x=-1.
Exemplo D — para \dfrac{1}{1-2x}:
  • Substituição direta x\mapsto 2x:
\frac{1}{1-2x}=\sum_{n=0}^\infty (2x)^n=\sum_{n=0}^\infty 2^n x^n,
com convergência quando |2x|<1, i.e. |x|<\tfrac12.
Exemplo E — função do tipo \dfrac{1}{(1-ax)^k} com k\in\mathbb{N}:
  • Derivar k-1 vezes a série geométrica ou usar a série binomial generalizada; por exemplo, para k=3,
\frac{1}{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty \binom{n+2}{2} x^n,\qquad |x|<1,
onde \displaystyle \binom{n+2}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}. Para geral a use x\mapsto ax e ajuste raio por |ax|<1.

Passo 6

Como determinar o intervalo (ou raio) de convergência em provas rápidas:
  • Para substituições lineares na série geométrica, o raio R é R=\dfrac{1}{|a|} quando se tem \dfrac{1}{1-ax}.
  • Para séries obtidas por derivação/integral de séries conhecidas, o raio de convergência permanece o mesmo (derivar/integrarem termo a termo não altera o raio interior de convergência).
  • Para casos gerais, use o teste da razão (d’Alembert): se os coeficientes são c_n em \sum c_n x^n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|.
Então o raio de convergência é R=\dfrac{1}{L} (com convenções R=0 se L=\infty e R=\infty se L=0). Em muitas questões de prova, os coeficientes vêm de manipulações conhecidas e não é necessário aplicar o teste da razão pesado.

Passo 7

Outras dicas práticas para a prova (conteúdo didático):
  • Sempre reformule a função para algo do tipo \dfrac{1}{1 - (\text{algo})} quando possível.
  • Se aparecer polinômio no denominador, tente decomposição em frações parciais para reduzir a somas de termos do tipo \dfrac{1}{1-ax}.
  • Use diferenciação/integral quando o numerador/forma pedir potências ou logaritmos.
  • Verifique sempre os pontos finais do intervalo de convergência separadamente (às vezes há convergência condicional, como em \ln(1+x) em x=1).

Passo 8

Resumo do que é preciso para eu resolver “cada uma das funções a seguir” concretamente:
  • Preciso que você me envie a lista das funções que vêm no enunciado (por exemplo: \dfrac{1}{1+x}, \ln(1+x), \dfrac{1}{(1-2x)^2}, etc.).
    Sem essa lista, não há como dar as séries específicas pedidas.

Resposta

Não é possível produzir as séries pedidas porque a lista das funções a serem desenvolvidas não foi fornecida. Forneça as funções e eu farei a resolução passo a passo para cada uma (com séries, intervalos de convergência e explicações detalhadas).

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