Calcule o limite a seguir justificando cada passagem citando precisamente as “propriedades dos limites” que você utilizar
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3 x^{3}+16}-4}{4 x^{3}}
Insira aqui o valor L do limite acima: L= \square
Na resposta utilize
  • o valor do número real L caso o limite exista,
  • o valor ‘1000’ se o limite for +\infty,
  • o valor ‘-1000’ (note o sinal de menos) se o limite for -\infty,
  • o valor ‘9999’ se o limite năo existir e năo for \infty ou -\infty.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3x^{3}+16}-4}{4x^{3}}
Queremos encontrar esse limite usando as propriedades dos limites: propriedade do quociente, da soma, do produto e a continuidade da função raiz quadrada.

Passo 2

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pela conjugada \sqrt{3x^{3}+16}+4. Usamos a identidade algébrica
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Assim:
\frac{\sqrt{3x^{3}+16}-4}{4x^{3}} \;\times\; \frac{\sqrt{3x^{3}+16}+4}{\sqrt{3x^{3}+16}+4} = \frac{(\sqrt{3x^{3}+16})^{2}-4^{2}}{4x^{3}\,\bigl(\sqrt{3x^{3}+16}+4\bigr)} = \frac{3x^{3}+16-16}{4x^{3}\,\bigl(\sqrt{3x^{3}+16}+4\bigr)}.

Passo 3

Simplificando o numerador 3x^{3} com o 4x^{3} do denominador, obtemos
\frac{3x^{3}}{4x^{3}\,\bigl(\sqrt{3x^{3}+16}+4\bigr)} = \frac{3}{4\,\bigl(\sqrt{3x^{3}+16}+4\bigr)}.

Passo 4

Aplicamos a propriedade do limite do quociente (desde que o limite do denominador seja não nulo):
\lim_{x\to0}\frac{3}{4\,\bigl(\sqrt{3x^{3}+16}+4\bigr)} =\frac{3}{4\,\lim\limits_{x\to0}\bigl(\sqrt{3x^{3}+16}+4\bigr)}.
No denominador, usamos a propriedade do limite da soma e a continuidade da raiz quadrada:
\lim_{x\to0}\sqrt{3x^{3}+16} =\sqrt{\lim_{x\to0}(3x^{3}+16)} =\sqrt{0+16} =4.
Logo
\lim_{x\to0}\bigl(\sqrt{3x^{3}+16}+4\bigr) =4+4 =8.

Passo 5

Substituindo no quociente final:
\frac{3}{4\cdot 8} =\frac{3}{32}.

Resposta

L = \displaystyle \frac{3}{32}

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