Resolva cada um dos PVI’s a seguir e desenho os gráficos das soluções para diversos valores de y_{0}.
\frac{d y}{d t}=-y+10, y(0)=y_{0}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
\frac{dy}{dt} = -y + 10,\quad y(0)=y_{0},
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante pelo valor inicial.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão,
\frac{dy}{dt} + y = 10.
O fator integrante é \mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}. Multiplicando ambos os lados por e^{t}, obtemos
e^{t}\frac{dy}{dt} + e^{t}y = 10e^{t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t}\bigr)=10e^{t}.

Passo 3

Integrando em t,
y\,e^{t} = \int 10e^{t}\,dt = 10e^{t} + C,
onde C é a constante de integração. Dividindo por e^{t} chega-se à solução geral
y(t)=10 + Ce^{-t}.

Passo 4

Para satisfazer a condição y(0)=y_{0}, fazemos
y(0) = 10 + C e^{0} = 10 + C = y_{0} \quad\Longrightarrow\quad C = y_{0}-10.
Logo a solução particular é
y(t)=10 + \bigl(y_{0}-10\bigr)e^{-t}.

Passo 5

O gráfico de y(t) para diferentes valores de y_{0} é uma família de curvas exponenciais que converge para a reta horizontal y=10.
Se y_{0}>10, y(t) decresce exponencialmente até 10.
Se y_{0}<10, y(t) cresce exponencialmente até 10.
Se y_{0}=10, y(t)\equiv10 é solução constante.

Resposta

y(t)=10 + \bigl(y_{0}-10\bigr)e^{-t},
com comportamento visual descrito acima.

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