1. \int \cos ^{4} x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\quad \frac{1}{4} \sin x \cos ^{3} x+\frac{3}{8} \sin x \cos x+\frac{3}{8} x+C\right)

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \cos^{4}x\,dx. A resposta final buscada (dada no enunciado como referência) é
\frac{1}{4}\sin x\cos^{3}x+\frac{3}{8}\sin x\cos x+\frac{3}{8}x+C.
Lista das informações relevantes:
  • A função a integrar é \cos^{4}x.
  • Podemos usar identidades trigonométricas (redução de potência, ângulo duplo) e integrais básicas \int \cos(kx)\,dx=\dfrac{1}{k}\sin(kx)+C.
  • O objetivo é obter uma primitive explícita (com constante C) e mostrar que ela é igual à forma fornecida.

Passo 2

Ideia do método (explicada de modo simples): para potências pares de seno ou cosseno é muito conveniente usar a identidade de redução de potência que transforma \cos^{2}x em termos de \cos(2x). Depois elevamos e simplificamos para integrar termo a termo. A identidade que vamos usar é
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Essa fórmula vem da identidade do cosseno de ângulo duplo: \cos(2x)=2\cos^{2}x-1, isolando \cos^{2}x obtemos a expressão acima. Não se preocupe se isso parecer novo — é apenas uma maneira de trocar uma potência por funções de ângulos múltiplos, que são fáceis de integrar.

Passo 3

Aplicar a redução de potência em \cos^{4}x. Escrevemos \cos^{4}x=(\cos^{2}x)^{2} e substituímos:
\cos^{4}x=\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^{2}.
Agora expandimos o quadrado (calcule devagar na prova):
\cos^{4}x=\frac{1}{4}\bigl(1+2\cos(2x)+\cos^{2}(2x)\bigr).
Ainda há \cos^{2}(2x); aplicamos de novo a redução de potência para o ângulo 2x:
\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}.
Substituindo na expressão anterior:
\cos^{4}x=\frac{1}{4}\Bigl(1+2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}{2}\Bigr).
Agora simplificamos a constante e os coeficientes (faça as frações passo a passo):
\cos^{4}x=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x).
Resultado importante: transformamos \cos^{4}x em soma de termos que são fáceis de integrar.

Passo 4

Integrar termo a termo usando integrais básicas. Escrevemos a integral como
\int \cos^{4}x\,dx=\int\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)\right)dx.
Integramos cada parcela:
  • \displaystyle \int \frac{3}{8}\,dx=\frac{3}{8}x.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{2}\cos(2x)\,dx usamos \int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx)+C, com k=2, então \int \frac{1}{2}\cos(2x)\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{4}\sin(2x).
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{8}\cos(4x)\,dx usamos a mesma fórmula com k=4: \int \frac{1}{8}\cos(4x)\,dx=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\sin(4x)=\frac{1}{32}\sin(4x).
Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitive na forma
\int \cos^{4}x\,dx=\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+\frac{1}{32}\sin(4x)+C.
Essa é uma forma perfeitamente válida da antiderivada.

Passo 5

Transformar a forma com \sin(2x) e \sin(4x) na forma dada no enunciado (expressão em potências de \cos x e produto \sin x\cos x). Primeiro use a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x. Então
\frac{1}{4}\sin(2x)=\frac{1}{4}\cdot 2\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin x\cos x.
Agora expresse \sin(4x) em funções de \sin x e \cos x. Uma maneira prática é usar \sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x). Substituindo \sin(2x)=2\sin x\cos x e \cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x obtemos:
\sin(4x)=2\bigl(2\sin x\cos x\bigr)\bigl(\cos^{2}x-\sin^{2}x\bigr)=4\sin x\cos x\bigl(\cos^{2}x-\sin^{2}x\bigr).
Simplificamos \cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1 para obter
\sin(4x)=4\sin x\cos x\,(2\cos^{2}x-1)=8\sin x\cos^{3}x-4\sin x\cos x.
Agora multiplique por \dfrac{1}{32} (o coeficiente que aparece na integral):
\frac{1}{32}\sin(4x)=\frac{1}{32}\bigl(8\sin x\cos^{3}x-4\sin x\cos x\bigr)=\frac{1}{4}\sin x\cos^{3}x-\frac{1}{8}\sin x\cos x.

Passo 6

Somar as contribuições em termos de \sin x\cos x e \sin x\cos^{3}x. Lembre-se que já tínhamos da parcela \sin(2x) a contribuição \dfrac{1}{2}\sin x\cos x. Somando com a contribuição da \sin(4x):
\frac{1}{2}\sin x\cos x+\left(-\frac{1}{8}\sin x\cos x\right)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)\sin x\cos x=\frac{3}{8}\sin x\cos x.
Portanto, combinando tudo:
\int \cos^{4}x\,dx=\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin x\cos^{3}x+\frac{3}{8}\sin x\cos x+C.
Isso coincide exatamente com a expressão indicada no enunciado.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\sin x\cos^{3}x+\frac{3}{8}\sin x\cos x+\frac{3}{8}x+C

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