-
resp.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral indefinida
. A resposta final buscada (dada no enunciado como referência) é
Lista das informações relevantes:
- A função a integrar é
. - Podemos usar identidades trigonométricas (redução de potência, ângulo duplo) e integrais básicas
. - O objetivo é obter uma primitive explícita (com constante
) e mostrar que ela é igual à forma fornecida.
Passo 2
Ideia do método (explicada de modo simples): para potências pares de seno ou cosseno é muito conveniente usar a identidade de redução de potência que transforma
em termos de
. Depois elevamos e simplificamos para integrar termo a termo. A identidade que vamos usar é
Essa fórmula vem da identidade do cosseno de ângulo duplo:
, isolando
obtemos a expressão acima. Não se preocupe se isso parecer novo — é apenas uma maneira de trocar uma potência por funções de ângulos múltiplos, que são fáceis de integrar.
Passo 3
Aplicar a redução de potência em
. Escrevemos
e substituímos:
Agora expandimos o quadrado (calcule devagar na prova):
Ainda há
; aplicamos de novo a redução de potência para o ângulo
:
Substituindo na expressão anterior:
Agora simplificamos a constante e os coeficientes (faça as frações passo a passo):
Resultado importante: transformamos
em soma de termos que são fáceis de integrar.
Passo 4
Integrar termo a termo usando integrais básicas. Escrevemos a integral como
Integramos cada parcela:
-
. - Para
usamos , com , então - Para
usamos a mesma fórmula com :
Somando tudo e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitive na forma
Essa é uma forma perfeitamente válida da antiderivada.
Passo 5
Transformar a forma com
e
na forma dada no enunciado (expressão em potências de
e produto
). Primeiro use a identidade
. Então
Agora expresse
em funções de
e
. Uma maneira prática é usar
. Substituindo
e
obtemos:
Simplificamos
para obter
Agora multiplique por
(o coeficiente que aparece na integral):
Passo 6
Somar as contribuições em termos de
e
. Lembre-se que já tínhamos da parcela
a contribuição
. Somando com a contribuição da
:
Portanto, combinando tudo:
Isso coincide exatamente com a expressão indicada no enunciado.