Questão 3 Encontre a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=\frac{2 s+4}{s^{2}-2 s+1}

Passo 1

O enunciado dá a função de s
F(s)=\frac{2 s+4}{s^{2}-2 s+1}
e pede a transformada de Laplace inversa, ou seja, encontrar a função de t, digamos f(t), tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s).
Informações relevantes do enunciado: o numerador é 2s+4 e o denominador é s^{2}-2s+1. A tarefa é usar álgebra e propriedades conhecidas da transformada de Laplace para obter f(t).

Passo 2

Vamos simplificar o denominador identificando uma forma factorizada ou quadrado perfeito. Observe que
s^{2}-2s+1=(s-1)^{2}.
Portanto podemos reescrever F(s) como
F(s)=\frac{2 s+4}{(s-1)^{2}}.

Passo 3

Para inverter a transformada é útil escrever o numerador em termos de (s-1). Fazemos uma decomposição algébrica: escrevemos 2s+4 como uma combinação de (s-1) mais uma constante. Calculemos:
2s+4 = 2(s-1)+6,
porque 2(s-1)=2s-2 e 2s-2+6=2s+4. Assim
F(s)=\frac{2(s-1)+6}{(s-1)^{2}}.

Passo 4

Agora separamos a fração em duas parcelas simples:
F(s)=\frac{2(s-1)}{(s-1)^{2}}+\frac{6}{(s-1)^{2}}.
Simplificando a primeira parcela obtemos
F(s)=\frac{2}{s-1}+\frac{6}{(s-1)^{2}}.

Passo 5

Precisamos usar fórmulas conhecidas de transformada de Laplace (e sua inversa). Vou explicar e justificar cada uma:
  1. A transformada de Laplace da função exponencial e^{at} é
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{at}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt=\frac{1}{s-a},
válida para \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a). Daí segue que a inversa é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
  1. A transformada de t e^{at} pode ser obtida usando a propriedade de diferenciação:
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\big(\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\big).
Aplicando com f(t)=e^{at} (cuja transformada é 1/(s-a)) obtemos
\mathcal{L}\{t e^{at}\}(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right)=\frac{1}{(s-a)^{2}}.
Portanto a inversa é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-a)^{2}}\right\}=t e^{at}.
Estas duas fórmulas são fundamentais e fáceis de memorizar para provas: 1/(s-a) vira e^{at} e 1/(s-a)^{2} vira t e^{at}.

Passo 6

Aplique as fórmulas aos termos separados em \;F(s)=\dfrac{2}{s-1}+\dfrac{6}{(s-1)^{2}}\;.
Usando as identidades com a=1:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s-1}\right\}=2\,e^{t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{6}{(s-1)^{2}}\right\}=6\,t\,e^{t}.

Passo 7

Somando as duas contribuições, a função no tempo é
f(t)=2\,e^{t}+6\,t\,e^{t}.
Podemos também factorar e^{t} para deixar mais compacto:
f(t)=e^{t}\bigl(2+6t\bigr)=2 e^{t}(1+3t).

Resposta

f(t)=\bigl(2+6t\bigr)e^{t}

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