Questão 3 Encontre a transformada de Laplace inversa da função
Passo 1
O enunciado dá a função de
e pede a transformada de Laplace inversa, ou seja, encontrar a função de
, digamos
, tal que
Informações relevantes do enunciado: o numerador é
e o denominador é
. A tarefa é usar álgebra e propriedades conhecidas da transformada de Laplace para obter
.
Passo 2
Vamos simplificar o denominador identificando uma forma factorizada ou quadrado perfeito. Observe que
Portanto podemos reescrever
como
Passo 3
Para inverter a transformada é útil escrever o numerador em termos de
. Fazemos uma decomposição algébrica: escrevemos
como uma combinação de
mais uma constante. Calculemos:
porque
e
. Assim
Passo 4
Agora separamos a fração em duas parcelas simples:
Simplificando a primeira parcela obtemos
Passo 5
Precisamos usar fórmulas conhecidas de transformada de Laplace (e sua inversa). Vou explicar e justificar cada uma:
- A transformada de Laplace da função exponencial
é
válida para
. Daí segue que a inversa é
- A transformada de
pode ser obtida usando a propriedade de diferenciação:
Aplicando com
(cuja transformada é
) obtemos
Portanto a inversa é
Estas duas fórmulas são fundamentais e fáceis de memorizar para provas:
vira
e
vira
.
Passo 6
Aplique as fórmulas aos termos separados em
.
Usando as identidades com :
Usando as identidades com
Passo 7
Somando as duas contribuições, a função no tempo é
Podemos também factorar
para deixar mais compacto: