Calcule o limite da sequência.
an=integral0^n e^-3 x cos x d x

Passo 1

Enunciado e contexto: temos a sequência definida por an = integral0^n e^-3xcos x,dx. O objetivo é calcular limntoinftyan. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo de primitiva por partes e, em seguida, analisar o limite do resultado.

Passo 2

Cálculo da primitiva por partes: aplicamos a regra integral u,dv = u v - integral v,du. Tomamos u=e^-3x e dv=cos x,dx, gerando uma segunda integral que também tratamos por partes. Fazendo isso duas vezes e resolvendo a equação resultante para a mesma integral, obtemos
integral e^-3xcos x,dx = e^-3x(sin x - 3cos x)10 + C

Passo 3

Avaliação da integral definida: substituímos a primitiva encontrada nos limites de 0 a n. Assim,
an = [e^-3x(sin x - 3cos x)10]0^n = e^-3n(sin n - 3cos n) - l(0 -3r)10 = e^-3n(sin n - 3cos n) + 310

Passo 4

Cálculo do limite: como e^-3nto 0 quando ntoinfty e sin n, cos n são limitados, o termo com fator exponencial some. Portanto,
limntoinftyan = 310

Resposta

3/10

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