Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não é monótona. A sequência é limitada?
arctg 2 n

Passo 1

Temos a sequência definida por an=arctg(2n). O assunto é monotonicidade de sequências e limite para verificar se ela é limitada, e vamos precisar usar duas propriedades principais: que a função arctan(x) é estritamente crescente e que seus valores ficam sempre no intervalo (-tfracpi2,tfracpi2).

Passo 2

Para ver se é crescente ou decrescente, note que para todo ninN vale 2(n+1)>2n. Como arctan(x) é estritamente crescente, segue que
an+1=arctg(2(n+1))>arctg(2n)=an

Passo 3

Portanto a sequência é estritamente crescente.

Passo 4

Para verificar se (an) é limitada, usamos que a imagem de arctan(x) é sempre entre -tfracpi2 e tfracpi2. Como aqui 2n>0 para todo n, temos
0

Passo 5

ou seja, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por tfracpi2.

Resposta

A sequência é estritamente crescente e limitada.

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