Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
b) integral d xe^x+1, use x=-ln (t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxe^x+1
usando a substituição x=-ln(t). O tema é integrais por substituição, e vamos precisar usar a regra de mudança de variável, expressar dx, e^x e o denominador em função de t.

Passo 2

Fazendo a substituição x=-ln(t) temos
t = e^-x,
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dx = -dtt
Também
e^x = e^-ln(t) = 1t

Passo 3

Substituindo na integral, o denominador fica
e^x+1 = 1t + 1 = 1+tt,
e o elemento dx é -dt/t. Assim
integral dxe^x+1 = integral -dtt1+tt = -integral dt1+t

Passo 4

Agora integramos uma forma padrão:
-integral dt1+t = -lnlvert 1+trvert + C
Retornando à variável original, como t = e^-x,
-lnl(1+e^-xr) + C

Resposta

-\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr)+C

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