Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência $ a_{n} = \frac{3^{n+2} + (-2){n}}{5{n}} $ converge ou diverge. Estamos trabalhando com limites de sequências e funções exponenciais. Para isso, vamos analisar como cada parte da expressão se comporta quando $ n $ fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do numerador. Note que $ 3^{n+2} $ pode ser reescrito como $ 3^n \cdot 3^2 $, que é igual a $ 9 \cdot 3^n $. Assim, a sequência fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador $ 5^{n} $. Isso nos dá:
Passo 4
Vamos analisar cada parte separadamente:
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Primeiro termo: $ 9 \left( \frac{3}{5} \right)^{n} $
- Como a base $ \frac{3}{5} $ é menor que 1, quando $ n $ aumenta, $ \left( \frac{3}{5} \right)^{n} $ tende a 0.
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Segundo termo: $ \left( \frac{-2}{5} \right)^{n} $
- Aqui, a base $ \frac{-2}{5} $ também tem valor absoluto menor que 1. Isso significa que, independentemente do sinal, $ \left( \frac{-2}{5} \right)^{n} $ também tende a 0 conforme $ n $ cresce.
Passo 5
Como ambos os termos da expressão $ a_{n} $ tendem a 0 quando $ n $ vai para o infinito, a soma deles também vai tender a 0. Portanto:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é 0.