Calcule o limite da sequência
an=(ln (n^2+2)-ln (3 n^2+5))

Passo 1

Este exercício pede para calcular o limite da sequência definida por an = ln(n^2 + 2) - ln(3n^2 + 5). O conteúdo principal é limite de sequência e propriedades de logaritmo; vamos usar a propriedade ln A - ln B = lnl(tfracABr) e o cálculo de limite de função racional.

Passo 2

Reescrevemos a expressão usando a diferença de logaritmos:
an = lnl(n^2 + 2r) - lnl(3n^2 + 5r) = lnl(n^2 + 23n^2 + 5r)

Passo 3

Para calcular o limite dentro do logaritmo, fatoramos n^2 em numerador e denominador:
n^2 + 23n^2 + 5 = n^2l(1 + tfrac2n^2r)n^2l(3 + tfrac5n^2r) = 1 + tfrac2n^23 + tfrac5n^2

Passo 4

À medida que n to infty, os termos tfrac2n^2 e tfrac5n^2 tendem a zero, logo
limntoinfty1 + tfrac2n^23 + tfrac5n^2 = 1 + 03 + 0 = 13

Passo 5

Portanto,
limntoinftyan = lnl(limntoinftyn^2 + 23n^2 + 5r) = lnl(tfrac13r) = -ln(3)

Resposta

-ln(3)

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