Verifique se a série alternada é convergente
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série alternada
. O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternadas e usamos também a propriedade de monotonicidade de
em
.
Passo 2
Definimos
. Note que para
temos
e como
é crescente em
, quando
aumenta,
diminui e portanto
também diminui. Ou seja,
é uma sequência positiva e monotona decrescente.
Passo 3
Calculamos o limite de
:
Passo 4
Como satisfazemos as condições do critério de Leibniz (
,
e
), concluímos que a série alternada converge. Além disso, ela não converge absolutamente, pois
e a série harmônica diverge.
Resposta
A série
é convergente, mas apenas de forma condicional (não converge absolutamente).