Verifique se a série alternada é convergente
sumn=1^infty(-1)^n-1 sen 1n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternada sumn=1^infty(-1)^n-1sintfrac1n. O conteúdo principal é o critério de Leibniz para séries alternadas e usamos também a propriedade de monotonicidade de sin(x) em [0,1].

Passo 2

Definimos an=sintfrac1n. Note que para n>=1 temos 1/nin(0,1] e como sin(x) é crescente em [0,1], quando n aumenta, 1/n diminui e portanto an também diminui. Ou seja, an é uma sequência positiva e monotona decrescente.

Passo 3

Calculamos o limite de an:
limntoinftyan=limntoinftysin1n=sin(0)=0

Passo 4

Como satisfazemos as condições do critério de Leibniz ( an>=0, an+1<= an e lim an=0), concluímos que a série alternada converge. Além disso, ela não converge absolutamente, pois sin(1/n)sim1/n e a série harmônica diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1sintfrac1n é convergente, mas apenas de forma condicional (não converge absolutamente).

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