Calcule o limite da soma dos termos de cada P.G.:
(34, 13, 427, ldots)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite da soma parcial de uma progressão geométrica infinita cujos primeiros termos são tfrac34,tfrac13,tfrac427,dots. O conteúdo é soma de P.G. infinita; vamos precisar (a) identificar o primeiro termo e a razão e (b) usar a fórmula da soma finita e tomar o limite quando o número de termos vai ao infinito.

Passo 2

Para verificar que é P.G., calculamos a razão entre o segundo e o primeiro termo:
r=tfrac13tfrac34 =13cdot43 =49
Como isso coincide também com tfrac427divtfrac13, confirmamos que é uma P.G. de primeiro termo
a1=34
e razão
r=49

Passo 3

A soma dos n primeiros termos de uma P.G. é dada por
Sn = a11-r^n1-r
Aqui
Sn =34,1-(tfrac49)^n1-tfrac49 =34,1-(tfrac49)^ntfrac59 =34cdot95l(1-l(tfrac49r)^nr)

Passo 4

Como l|tfrac49r|<1, temos limntoinfty(tfrac49)^n=0. Portanto o limite da soma parcial é
limntoinftySn =34cdot95l(1-0r) =3cdot94cdot5 =2720

Resposta

2720

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