Calcule os limites laterais e, se existir, calcule o limite
lim x 5 2^x+1(5-x)^3.

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais de
f(x) = 2^x + 1(5 - x)^3
quando xto5, e verificar se existe o limite limxto5f(x). Vamos usar que se o numerador tende a valor finito não nulo e o denominador tende a zero, o quociente diverge com sinal determinado pelo sinal do denominador.

Passo 2

Calcular o limite do numerador em x=5. Como a função exponencial é contínua,
limxto5 l(2^x + 1r) = 2^5 + 1 = 32 + 1 = 33

Passo 3

Analisar o sinal do denominador quando xto5^-. Para x<5 bem próximo de 5, 5 - x é um número positivo muito pequeno, logo
limxto5^- (5 - x)^3 = 0^+,
e
limxto5^- f(x) = limxto5^- 33(5 - x)^3 = +infty

Passo 4

Analisar o sinal do denominador quando xto5^+. Para x>5 bem próximo de 5, 5 - x é um número negativo muito pequeno, e elevando ao cubo permanece negativo, logo
limxto5^+ (5 - x)^3 = 0^-,
e
limxto5^+ f(x) = limxto5^+ 33(5 - x)^3 = -infty

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( +infty e -infty), o limite limxto5f(x) não existe.

Resposta

limxto5^- 2^x + 1(5 - x)^3 = +infty, limxto5^+ 2^x + 1(5 - x)^3 = -infty,
o limite geral limxto52^x + 1(5 - x)^3 não existe.

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