\hline 86 & Se f(x)=ln xx^2, encontre f^prime(1). \

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=ln xx^2 e, em seguida, o valor de f'(1). Para isso vamos usar a regra do produto (ou do quociente) e depois avaliar em x=1.

Passo 2

Escrevendo f(x)=ln(x)cdot x^-2, aplicamos a regra do produto:
f'(x)=l(ln(x)r)',x^-2+ln(x),l(x^-2r)'
Como l(ln(x)r)'=1/x e l(x^-2r)'=-2x^-3, temos
f'(x)=1xx^-2+ln(x)l(-2x^-3r)

Passo 3

Agora simplificamos:
f'(x)=x^-3-2x^-3ln(x) =(1-2ln(x)),x^-3 =1-2ln(x)x^3

Passo 4

Para x=1 vale ln(1)=0, então
f'(1)=1-2cdot01^3=1

Resposta

f'(1)=1.

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