Encontre f^prime(x).
11. sec ^3 x+sec x tg^2 x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = sec^3 x + sec x ,tan^2 x
e pede f^prime(x). O conteúdo aqui envolve derivadas de funções trigonométricas, aplicação da regra da cadeia e da regra do produto.

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo sec^3 x. Usamos a regra da cadeia: se u(x)=sec x, então l(u(x)r)^3 tem derivada 3u(x)^2cdot u'(x). Como
ddx[sec x]=sec xtan x,
temos
ddxl(sec^3 xr) =3,sec^2 xcdot(sec xtan x) =3,sec^3 xtan x

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo sec x,tan^2 x usando a regra do produto:
ddx[sec x,tan^2 x] =l(sec xr)',tan^2 x +sec x;l(tan^2 xr)'
Como l(sec xr)'=sec xtan x e, pela regra da cadeia,
ddx[tan^2 x] =2,tan xcdotddx[tan x] =2,tan xcdotsec^2 x,
segue que
ddx[sec x,tan^2 x] =sec xtan x;tan^2 x +sec x;l(2tan xsec^2 xr) =sec xtan^3 x+2,sec^3 xtan x

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =3,sec^3 xtan x +l(sec xtan^3 x+2,sec^3 xtan xr) =5,sec^3 xtan x+sec xtan^3 x
Agora fatoramos sec xtan x:
f'(x) =sec xtan xl(5,sec^2 x+tan^2 xr)

Passo 5

Para simplificar, usamos a identidade sec^2 x=1+tan^2 x. Assim,
5,sec^2 x+tan^2 x =5,(1+tan^2 x)+tan^2 x =5+5tan^2 x+tan^2 x =5+6tan^2 x
Portanto
f'(x)=sec xtan x,(5+6tan^2 x)

Resposta

f'(x)=sec xtan x,(5+6tan^2 x)

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